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 imposées aux éléments consécutifs peuvent varier à l'infini. Ils sont diffi- 

 ciles, ou du moins réputés tels. Voici une méthode générale qui permet de 

 les résoudre tous d'une manière simple et uniforme. 



» II. Supposons formés tous ceux des arrangements complets de m objets 

 n A n oix les éléments consécutifs satisfont aux conditions données ; ne 

 considérons plus que ceux-là, et appelons-en X„ le nombre. 



M Si nous considérons les parties terminales de ces arrangements, c'est-à- 

 dire les groupes d'éléments consécutifs qui les terminent, ces parties termi- 

 nales satisfont aux conditions qu'on a imposées aux éléments consécutifs. 

 Dans chaque cas, ces conditions fournissent un moyen très-net de classer 

 ces parties terminales des arrangements considérés et, par suite, ces arran- 

 gements eux-mêmes. Cette classification est le fondement de la méthode que 

 nous exposons. 



» Distribuons donc nos arrangements « à n en différentes classes , et 

 soient A„, B„, C„, ... les nombres de ces arrangements compris respecti- 

 vement dans ces classes. Nous aurons 



X„ = A„ + B„ -h C„ -t- . . . , 



et il nous suffira évidemment, pour obtenir X,,, de déterminer les expres- 

 sions de A„, B„, C„, ... et de les ajouter. 



» Pour déterminer ces dernières expressions, comparons les arrange- 

 ments n à n, classés comme nous venons de le faire, aux arrangements 

 n — 1 l\n — \ , n — 2 k n — 2, . . . , qui satisfont aux mêmes conditions et 

 que nous supposons classés de la même manière; puis cherchons de quelle 

 façon nous pouvons, de ces arrangements n — i 'a n — i,n — 2 à « — 2, . . ., 

 déduire d'abord les arrangements n à n dont le nombre estA„, ensuite les 

 arrangements 7i à n dont le nombre est B„, puis C„ et ainsi de suite. Ces 

 considérations nous donnent entre A,„ B,„ C,,,... d'une part, A„_,, B,,_,, 

 C„_,, . ., A„_2, B„_2. C„_o, . . ., etc., de l'autre, des équations dont le nombre 

 est juste égal à celui des espèces de noire classification. 



1) Entre ces équations et celles qu'on en tire en faisant varier «, séparons 

 les inconnues , c'est-à-dire déduisons de toutes ces équations, à l'aide d'éli- 

 minations convenables, des équations nouvelles ne contenant plus, la 

 première que des quantités A, la seconde que des quantités B, la troisième 

 que des quantités C, . . . . Ces dernières équations montrent que les quan- 

 tités A„, B„, C„, . . . sont chacune le terme général d'une suite récurrente 

 dont elles expriment la loi. 



» Nous pouvons toujours calculer directement les premières valeurs de 

 A„, c'est-à-dire les nombres A,, Aj, A,, . . . . Ces nombres connus, la loi de 



I I !.. 



