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ihre Endpunkte gleichzeitig fixiert werden. Da nun aber Gleich- 

 zeitigkeit in den verschiedenen Systemen Verschiedenes bedeutet, 

 so ist es klar, daß Abweichungen eintreten müssen. Damit 

 haben wir eine andersartige Erklärung für die Lorentz-Kontraktion. 

 Um diese Verhältnisse quantitativ verfolgen zu können, müssen 

 wir zu Formeln und graphischen Darstellungen greifen. 



sich 



Um einen 

 bekanntlich 



ö 



AU.A-. 



7. Die Transformationsgleichungen. 



Punkt in einer Ebene zu fixieren, bedient man 

 eines Koordinatensystems. Seien in Abb. 4 

 Pi und Pj zwei Punkte mit den 

 Koordinaten Xi, yi bzw. x-, yj, so 

 ergibt sich für ihre Entfernung nach 

 dem Lehrsatz des Pythagoras 



S-'=(X,. — Xi ) -' -\-{y-: — Vi) '"■ 



oder, wenn ich zwei benachbarte 



~x' Punkte nehme : 



ds-=dx--[-dy' 



^ als Gleichung des Linienelements. 

 Stelle ich nun dieselbe Strecke in 

 einem zweiten Koordinaten-System, 



etwa mit den verschobenen Achsen x', y', dar, so ergibt sich, da 

 x-^x'-j-a und y=y'H-b : 

 s-'--(x'...+a-x'i-a)-'+(y'.+b-y'i-b)~(x',-x',)-'+(y'.-y'i)^ 



d. h. es ergibt sich derselbe Wert wie vorher. Man sagt, der 

 Ausdruck für das Linienelement ist invariant gegen die Trans- 

 formation der Verschiebung. Dasselbe ergibt sich, wenn ich eine 

 Drehung des Koordinatensystems vornehme. Ebenso könnte ich 

 natürlich auch das Koordinatensystem fest lassen und die Strecke 

 beliebig drehen und verschieben. Immer erhalte ich dieselbe 

 Länge. Das gleiche gilt von Figuren, sodaß daraus ohne weiteres 

 die Gültigkeit der Kongruenzsätze folgt. Das alles erscheint 

 selbstverständlich, ist es aber nicht. Es steckt vielmehr eine ganz 

 bestimmte Voraussetzung über unsern Raum darin, nämlich die, 

 daß ich Strecken und Figuren ohne Dimensionsänderungen in ihm 

 verschieben und drehen kann. Daß diese Forderung nicht selbst- 

 verständlich ist, geht daraus hervor, daß sie zwar für alle Flächen 

 gleicher Krümmung (z. B. Ebene, Kugel) gilt, nicht aber für 

 Flächen, bei denen sich die Krümmung von Punkt zu Punkt ändert. 

 Zeichne ich z. B. auf einer Eifläche ein Dreieck aus drei gleichen 

 Seiten und verschiebe dies, so sehe ich sofort, daß sich die 

 Winkel und die Fläche ändern. Wir wollen aber diesen Fall 



