PHYSICAS E NATURAES 69 



com respeito á grandeza relativa e disposição dos seus elementos den- 

 tro do respectivo quadro, v. gr.: 



Serem symetricos para ambas as diagonaes, — hisymetricos : 



Serem contra-symetricos para ambas as diagonaes, — hi-contra sy- 

 metncos : 



Serem symetricos para uma, e contra-symetricos para a outra dia- 

 gonal, — mixtos. 



Ora, como duas das relações 



i k > 



a, = a. , 1 



k i ' I 



k i' 



a: = a,..\ (A) 



% — "a/?; 



determinam a terceira, segue-se que o determinante hisymetrico é sy- 

 metrico central j e o que for symetrico central^ e ao mesmo tempo syme- 

 trico para uma das diagonaes, é symetrico para a outra. 



Accrescentaremos ainda, que os contra-symetricos centraes de grau 

 par, apenas se poderão distinguir no signal dos determinantes syme- 

 tricos do mesmo grau vi, por se converterem n'estes quando se muda 



m 

 O signal a todos os elementos de — das suas columnas ou linhas, sem 



que hajam duas equidistantes do centro. 



Assim, designando por A o primitivo determinante, e por A' o 

 segundo, é 



m 



A' = (— 1)"^A. 



A proposição 27, que é pois geral para as três espécies de syme- 

 metria, diz nos que, se um dos elementos inconjugados de determinante 

 contra-symetrico de grau impar deixar de ser zero, o determinante 

 será egaal ao producto d'esse elemento pelo seu factor reciproco. 



Esta asserção, aliás evidente, pode, nos determinantes symetricos 

 directos, deduzir-se do seguinte theorema: 



O determinante desenvolvido em ordem aos elementos da pri- 

 meira diagonal, consta da somma d'estes elementos respectivamente 

 multiplicados pelos seus factores recíprocos, mais o determinante que 

 se obtém quando todos os elementos da diagonal são substituídos por 

 zeros. Na determinação, porém, d'aquelles fiictores, tem de substi- 

 tuir previamente por zeros no determinante proposto, os elementos 

 factores dos termos já produzidos. 



A sua dedução é fácil. — Separa-se o termo em a^, substituindo o 



determinante proposto pela somma dos dois seguintes: o primeiro dis- 



tinguindo-se do proposto em ter um zero no logar do elemento a^j o 



