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i". Lorsquc deux notnbres a et Z^substituesdaus une (equation !px^=-o •' ^ ^ ^' 



fournisseiil deux resullats de signe conlraire, et lorsque I'equalion a 

 une seule racine r^elle ciilre cos deux limiles a et b, peiit-ou clec.oi..vrir 

 un moyen de reconnaitre promptement et avec ceiiitude si cette |)re- 

 roiere approximation est sunisaute, pour que les subslilulious ojjcrdcs 

 suivant la rn^thocle de Neuton, donnenl necessaireinent dcs valeurs de 

 plus en plus approcb^esj et coininent doil-on distina;u(;r ce cas de celui 

 oil les substitutions pourraient conduire a dcs rdsullals divergons? 



20. L'applicatiou de la metbode ne pouvant donner que des valeurs 

 qui sont toutes plus grandes ou toules plus pctiles que la racine cber- 

 chee, quel procdde iaut-il suivre pour mesurer lacileinent le degre 

 d'approximation que Ton vient d'obteuir, c'est-a-dire, pour distinguer 

 la partie du resultat qui contient des chiHres decimaux exacts appar- 

 tenans a la racine? 



L'objet de cette uote est de donner des regies certaines et geudrales- 

 pour resoudre les deux questions que I'ou vieut d'dnoucer. 



Pour satisfaire a la premiere question, il faut difldrentier successi- Y- 

 vement la propos^ei?>x =:o, en divisant par la diff'ereutielle de la va- 

 riable. Ou tormera ainsi les lonclions i^i'^^ <P"x, <p"'-x , etc., et Ton 

 substituera chacune des deux limites a et b h la place de x dans la 

 suite complete (px, (p'x, <p"x, <p"'x.... etc.; on obtiendra ainsi 

 deux series de rdsullats dont il sullira d'observer les signes. 



jo. II suit de I'hypothcse meme, que le signe du premier terme dans 

 la suite correspondante a la liniite a , differc du signe du ]3remier terme 

 dans la suite que doune la substitution de b. S'll u'y a aucuue autre 

 difference entreles deux suiles de signes, c'esl-a-dire, si tous les termes, 

 excepts le premier, out le mcnie signe dans I'uue et I'autre suite, I'ap- 

 plicalion de la mdtliode doiuicra necessairemcnt des valeurs de rilus 

 en plus approchdes ; il est impossible que dans ce cas ou soit conduit 

 a des valeurs divergentes. 



2". Si la condition que Ton vient d'exprimer n'a pas lieu , on recon- 

 naitra que les deux limites aetb ne sont poiut assez approchees, et Ton 

 subsliiuera uu nombre intermddiaire, en examiuant si le resultat de la: 

 .substitution, compart a celui de « ou a celui de Z*, satisCait a cette con- 

 dition. On arrivera tres-promplement au but par res substitutions, et 

 Ton ne doit eu gendral comraeucer I'approximation que lorsqu'on 

 aura trouve deux suites de signes qui ne different que par le premier 

 terme, re'sultat qu'on ne peut manquer d'obtenir si I'on connait deux, 

 limites a et b d'une racine rc^elle. 



5'^^'. Pour trouvcr les valeurs convergentes, il ne faut pas em|)lbyer' 

 inciiffs^rcmment I'une ou I'autre des limites; il faut en general clioisir' 

 celle des deux limites pour laquclle la suite des signes coulieut aiu 



