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Pour rint^grer, je d^signe par z' une autre fonction de x, y et t. 



qui satislasse a I'equation 



dz' /r/'i' d' z' \ 



Tt ='" \-dT' + -J^)' ' C^^) 



m etant un coefficient indelerraind. En diflerenciant cette equation 

 par rapport a /, il vient 



Ti ~"^ \dx' dt "*" dy~dt)'' 



et si Ton met dans le second membre de celle-ci . a la place de 



dz' 



-— , sa valeur tir^e de la prdc^dente, on a 



d'z' ^ /■ rf" z' d* z' d* z'\ 



dt' ~ "' \ dx* "*" ^ dx' dy "^ dj*)' 

 d'ou il rcsulfe que si I'on fait 7n'=z — a'', on satisfera a I'equation (i), 

 en prenant z = z'. De cette maniere , on n'aura qu'wiie integralc 

 particuliere de cette Equation ; mais si Ton prend siiccessivement 

 m= -{- a y/— i et rn =^ — a V — t , I'equation (2) donnera deux valeurs 

 de z", donl la somme exprimera I'inlc^grale compiette de i'equation (1). 

 La question est done le luite a inlegrer rette equation (a). 

 Or, M. Laplace a donn^ I'integrale de I'equation 

 dz' d'z' 



dt d X' 



bous cette fornae : (*) 



-P 



e etant la base des logarithmes dont le module est Tunitd, cp une fonc- 

 tion arbitraire, et I'integrale relative a oc dtant prise depuis a = 



jusqu'a a = + — . De plus, il est aise d'etendre cette forme d'integrale 

 SI I'equation (2), par rapport a laquelle on aura 



'■=/■ 



— «' — C' _ 



e e (? (x + :i X \/mt,j + 2Q y/TiTe) dix d^; 



I'integrale relative a C etant aussi prise depuis 6=: jusqu'a 6 = H . 



Maintenant , si nous melfons successivement dans cette foriTiLile 

 ■\- a y/^^i et — a \/^^i a la place de in, et que nous iassious la somme 



■ ■ I ■ ■- I ^. . ■ , . I ■ — I I ... » I ■■ ■ ■ -^ BB ■■■■If 



(*) Journal de TEcole Poljtechnique , i5* cahier, page aJ8. 



