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Note sur Tinte^ration des equations mix differences partielles 

 du premier ordre fi un nnmbre ijuelconauc dc variables j; 

 par M. AUGUSTIN L. Cauchy. 



Mathe'matiques. Jvsqu'a present il n'est auciin traife de calrul diflerentiel et inte- 

 gral, oil Ton ait cloiin^ les muyens d'inte^grer complelemcDtles Equations 

 aux diffi^rences pnrt'elles du premier ordre, quel que soit le uombre 

 des varlaoles independantes. M'(5tant occup^ il y ^ phisieurs mois de 

 cet objet, je I'us assez heureux pour obteuir une melhude g^n^rale 

 propre a remplir le but desire. Mais, apres avoir lermind mon travail, 

 j'ai appris que M. Pfafl, g^ometre allemand, etait parvenu de son c6l^ 

 aux inl(5grales des Equations ci-dessus mentionn6es. Comme il s'agit 

 ici d'une des questions les plus iniportautes du cahrul iiile'gral, et que 

 la m^lhode de M. Pfaff t-st diffV^rente de la mienue, je pense que les 

 g^omctres ne verront pas sans int^ret une analyse abrdg^e de I'une et 

 de I'aulre. Je vais d'abord exposer la m^thode dont je me suis servi, 

 €n profitant, pour simpliiier 1 exposition, de quelques remarques faites 

 par M. Coriolis, ingenieur des ponis et cbaussees, et de quelques 

 aulres qui rae sont depuis peu venues ;i I'esprit. ' } .1" 1 '. ' 



Supposons, en premier lieu, qu'il s'agisse li'iut^grer Wne'^quatSbn 

 aux difi^rcnces partielles du premier ordre a deux variables indepen- 

 dantes. On a d^ja pour une integration de cette espece plusieurs 

 m^thodes difierentes, dont i'une rcelle de M. Arapfere) est fondle sur 

 le changement d'une seule variable independante. La ni6thade que je 

 propose, appuy^e sur le lueme principe dans I'hypothese admise, se 

 rdduit alors a ce qui suit. 

 Soit 



(0 f {x, r,/u, p, ci) ~ o 



r^quation donn^e, dans laquelle x et ^" d^signent les deux Variables 

 independantes, u la fonction inconnue de ces deux variables, et p, q 

 les derivdes partielles de u relatives aux variables x et^. Pour que 

 Ton puisse determiner completeraent la fonclion cberchee u, il ne 

 suffira pas de savoir qu'elle doit verifier I'equation (i); il sera de plus 

 netessaire qu'elle soit assuiettie a une autre condition, par exemj)le, 

 a oblenir une certaine valeur particuliere fonction de y, pour une 

 valeur donnee de la variable x. Supposons en consequence que la 

 fonction « doive recevoir, pour :r = .r„, la valeur particuliere ?> {y)' 

 la fonction q, ou la derivee partielle de 11 relativement a _y, recevra 

 dans cette hypothese la valeur particuliere ?>' (j). Dans Ja meme hy- 

 pothese, la valeur generate de u sera, comme Ton sait, complette- 

 inent deierminee. II s'agitm&in tenant di3't;alculer cette valeur; on y 

 parvieudra de la mauiere suivaute. 



