( i4) 



on couclura cI^Enitivement que, pour determiner les valeurs cherche'es 

 des qiiautites y, u , p , q , // suffit de les assujettir d quatre des cinq 

 equations comprises dans les deux J or mules 



fj\x, y, u, p, q) = o 

 dx dy du dp dq 



~P~ ~ ^Q"^ Vp+qq — ~ X+pU ""~ Y + 9U ' 

 et a recet'oir, pour x = x„, les valeurs particulieres y„, u,, p„, q,, 

 dont les trois dernieres sent detertninees en Jonction de la premiere 

 par les equations (8) et (10). 



Supposons, pour fixer les iddes, qu'a I'aide de lequation 



/{^■>y, u,p, (?) = o 



on ^limine/? des trois Equations comprises dans la formule 



, . ■ dx dy du dq 



(23) _-= =^ 



P Q P/)+Q7 Y + 9U 



En integrant ces trois dernieres, on obtieudra trois Equations fiuies qui 

 renferraeront, avec les quautit^s 



X, J> ", g> 

 les valeurs pajticulieres representees par 



X<,,J<,f <P Oo), <P' (j-o). 



Si apres I'iutegration Ton ^limine q, les deux Equations restantes ren- 

 fermeroQt seulemcnt, avec les quantit^s variables x , jy, u et la quan- 

 tite consfante x^, la nouvelle variable^',, dont reiiminatiou ne pourra 

 s'effectuer que lorsqu'on aura assign^ une forme particulierea la fonction 

 arbitraire designee par <p. Quoi qu'il en soit, le systeme des deux Equa- 

 tions dont il s'agit pourra toujours etre consider^ comme equivalent 

 a I'iniegrale g^nerale de I'equation ( i ). 



Comme, dans tout ce qui precede , on pent substituer la variable x a, 

 la variable J-, et reciproquement; il en resulte que les int^grales des 

 equations (21) fourniront encore la solution de la question proposee, si 

 Ton considcre dans ces infegrales j„ comme constanle , x„ comme une 

 nouvelle variable que Ton doit eiimiuer, et u,,p,, (/„ comme des lonctions 

 de cette nouvelle variable determinees par des equations de la forme 



(34) f{^*, y., "., Po. q.) = o. 



Appliquons les principes que nous venons d'etablir a I'integration de 

 requation aux diflerences parlielles 

 <25) p<i — xy = 0. 



