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 Note suf qnehiues inlegralcs dcjinies, et applicatiun a la fnm.'i- 

 jonnnlion des fond ions en series de (juantites periodicjues ; 

 par M, DeI'LEKs , Mailre de conferences a lEcole Nunnale. 



Dans son premier Memoiic sur la thf^orie dii sOn , et, dep'uis, dans MAxai-MATKjuEs, 

 la Me'cariiqi/e analytiqiie , Lagrange donna dcs ibrmules reinarquablcs, 

 soit pour inlerpolcr (ju pour expriiuer unc'lonction quelconque, par des 

 series de quanlilds periocliques. M. Poisson elablit des formules analo- 

 ji,ues, dans son JMcmoire sur les ondes; et leur demonslralion omisedans 

 i'exIraiL insert dans Ic Bulletin dw niois d'aeut i8i5, a paru en 1818 

 dans Ics flJenioi res etc VAcademie des sciences pour 181G. De son cole, 

 M. Caucby enij)]oya dcs rormuies senilihibles, dans ses recherches scir 

 le nu'nie [irobleme , couroiniees jiar lluslitut en 1S16, el en dcduisit les 

 jjroprieles des lonilions qu'ii nomnie reeiproqiies ( 1). M. Fourrieravait 

 aussi (ioiijie dcs llit'orcmcs du meme genre dans ses M(^moires sur la 

 tbaleiu'jpreserlcsa rinslitut en iSoy et 181 1 , et donl il a paru im exlrait 

 dans les Annales de physique et de chimie de cleceinbre 1816. 



Ccs lornniles sent surtout utiles pour transformer les inlegrales des 

 equations Jineaires aux diftiirences et aux diHerentiellespartielles, ainsi 

 qu'aux differences melees, de nianiereaassujettircesintegrales generales 

 a repr^senter les valeurs initiales des ibnctions que ces equations deter- 

 Jiiinenl, el ;i parliculariser ainsi les ibnctions arbitraires. Elles servcut 

 aussi a representer des Ibu'jtions pour telle elendue qu'on veut de leur 

 variable, ee qui est tres-imporfant dans les problemes de mecanique 

 appli(|uce a la |)bysique, ou il faut que les inlegrales n'aient lieu que 

 pour I'eteudue du systeme sur lequel agissentles forces. L'utilite de ces 

 lormules se trouve am piemen t prouv(^epar les di verses applications ci Ides 

 plus haul, et par celtes que M. Poisson eu a faitesdans uu Mt^moire 

 insere dans le i\\K-\\u\\\iimeC?ih\erdu Journal de I'Ecole Polylechnique, 

 oil il en a en niemc-temps expose la ihdorie. La lecture de ce Memoire 

 in'a sugger(5 les remarques siiivantes; elles ont pour but de denionlrer 

 direclement ces formules, qui ne Font ete jusqu'ici que conime liniites 

 d'exj)ressions du meme genre. 



.Je considere d'aboi'd les inlegrales fjx sin. axdx ei f fx cos. axdx, 

 et j'elablis sur la valeur de ccs inlegrales, dans Ic eas de ainfini, oil 

 pour parler plus rigoureusemerit , sur leurs limiles relatives a I'accrois- 

 semciil indetini de <z, un Iheureme general doiit lapplicalion a divers 

 exemples me donne plusieurs formules remarquables deja connues, mais 

 oblenues ainsi par des consid(?rations dilierentes. Je trouve aussi la va- 



(i) Buf/tUn« ties iiiols d'aoiU 1817 ftdccembic 181S. 



l.ivraison de umcuibre. 3i 



