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leurdes integrales definies /''"■"^q^.r,/^'""^ d.t , pour lecasdea infinl 



./ sin. X ,J X 

 «t entre diverses Hmites de x; et c'cst comme application immddiate de 

 ces rdsullats, que se prdsenteiit Ics iormulcs ritees plus haut. 



II est remaiquable que les expressions sin. ax et cos. ax , qui devieu- 

 tient indt^tennindes quand a est iufnii, ne rrndent pas felles les inle- 

 ^rales f fx s\n. axdx et J'Jx cos. axdx. En cfl'et, I'iDlegration par par- 

 tics les change en fx cos. ax -{ [f'jc cos. axdx et — /xsin. ax 



fj'x sin. axdx , resultats que la su[)position de a infiui rend 



nuls, siZ-c reste fiuie aux limiles de rinldj^ration, e( y.i pour toufe 

 J'elendue de ces limiles. Siy',c deveuait intinie pour ccrlaincs valeurs 

 iutcrniL'diaires h, h' , les integralos pro[)osees se rcduiraient aux seuls 

 elemens fb sin. abdx, fb cos. cibdx qui sont infinimcnt petits, si /.c 

 reste finie ; et niuiney.c pourrail etre iufinie, sans (|ue ces portions d'in- 

 tegrales le t'ussent , car alors rinldj;,rale dcfinic n'a plus de rapport avcc l;i 

 valcurdeselemens. Pour verifier cesresul la tSjdvaluons les integral PS dans 



rintervalle/; — & aZ) + /3,/3ctant trcs-petit,et prenons la limile reiativeau 



A A' 



decroissement defi; posantj-=:Z< + Kety(Z) + ?^) = ^ + i?« ■\-Cu +. , 



ft . 

 il vient/yi sin. (ixfi^.r^^ysin. a{b -^u^dii + B j' ii f.nt.a'^h + u)di/... 

 S'J'x est seule infinie, les exposans K, K' sfint positil's et K<^\, le pre- 

 mier terme est nul , et les suivans soni numeriquement plus pelits que le 



double des intdgrales ) u du , j u dii... prises de z/ = o a m = » ou que 



"" , LI , expressions dont la limile est nuUe. Si_/r est infinie, 



/L-fl JL'i-i 



quelques-uns des exposans K, K' seront nc^gatifs, mais s'ils sont moin- 

 dres que I'lmile, suivant une reniarque de M. Poisson , le theorenie des 

 iutein-ales definies a toujours lieu , et les divers termes pourront encore 



se comparer 3. J u du=::^ qui donne o pour limile, Texposant 



^tant positif: f_fc cos. ajC(ij;.conduirait au meme rdsultat. Ainsi la li- 

 mite des iulcgral s fjx sin. axdx et fjx co;^. a. rdx, relative a I'ac- 

 croissemeul ind6 inidci?, est nuilelant (jue/^r reste liuieentre les liiniles 

 de I'intdgraru n, ou que dcvonant infinie pour cerlaincs valeurs de x, 

 son dcveioppeiricnt, a partir de ces valeurs, contieut des exposans 116- 

 galiCs moincires que i 



Ces cousid^rations appliqudes a I'iul^grale /■- — ^r^ fi^"* 



voir 



