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JLeinarqiies sur les inlegrales des eijuatUms aiix differences par~ 

 tkdles; par M. PoiSSON. 



1822. 



Les Remarques suivantes sont cxtrailes de plusieurs de mes Momoirrs; Mathematiqu e». 

 elles sont rcUlives a la fj^neralile des integralrs des equations lineaires aux 

 difleretu-es parlielles. C'est uii point sur lequei ii iniporte de ne iaisser 

 aucun doule, afin qu'il n'en reste non plus aucun sur les solutions des pro- 

 blcnies de physique ou de niecanique qui se deduisent de ces inlej^rales. 

 Pour fixer les idees, il ne sera question ici que des equations a coeiruicnts 

 constants; des reniarques analogues pourront aisenient s'appliqucT aux 

 autres Equations lineaires. 



Soil done L =: o une equation decelte esp6ce, d'un ordre queleonque , 

 et contenant aussi un noaibre quelconque do variables iiidepeud.niles; 

 designons ces variables par t, a;, y, etc., et par ? la variable principal)'; 

 supposonsqne cette e(j nation lineaire a coefficients constants, ne leiilirnic 

 aucun ternie indepctidani de ipou de ses difTerences partielles: on y pourra 

 alors satisfairc en prenaut 



«p-f jx + /i.y +etc. 

 <p ^^ \ e ; 



A, p, (/, /(,, etc., ^tant dts c()ni»tanles iud(^ternunees, et e designant la 

 baser des lofjiirillimes iieperieris. Si Ion sub>titue cette valeur tie f dans 

 I'equ iliiiu L o, la con^laiile A restera arbilraire; une S''ule des aulres 

 Conslantt'S, p, par exemple, "-era deterininee en fonclion de </, h^ etc.; 

 en sorleqiie.y coiupris Ic co( flfKient A, cetle vdeur de ^ reiifcrniera un 

 nondire de conslanlcs a'bilraires cf^'al a ci'Ini des variables indeptndantes. 

 L'equ.ilioii qui delerndnera x, s<Ta d lui di'gre ef;al a I'indii-e de la plus 

 haute difTerenci' partielie lehitivc a t (|ui soil contenue dans L =; o; ea 

 desif^nanl ses racines par ;?, p , p', etc, on pourra les employer succi'S- 

 sivenient dans la v.deur do ^ ; on pourra aiisr^i changer arbitraireinenl les 

 quanliles A, g, h, etc., et prendre pour p la soinuie des valeurs parlicu- 

 li^res qui resulteront de ces changenienls, ce qui donnera 



(p ^ 2. A.e +2.Ae ; [a) 



les caracteristiques S indiquant des somnies qui s't5tendent i toules les 

 \aleurs, reelles ou imaginaires, de A, g, h, etc. Non-sculenienl c<tle 

 expressidu satisfera a re(|uation L = o . niais j'ai d(^niontr6 rigouronse- 

 uient (*) qu'elle en sera I'intcgrale coinplfele, df^veloppee en serie d'expo- 

 nenlieiles, de inaniere que toute valeur de ^, qu'oii aura lrouv«^e par un 

 nioycn quelconque, et qui satisfera a I'equation L:^o, sera certainemeut 



(*) Bulletin de novembre 1817. 

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