se red'uire pour a; = o. Pnr consf^rjuenl , si cotlp foncfion est conniie pour 

 toiiti's los valeiirs possibles (If y . i! semblt- t.\\u- la v.ilcur dc z sor.i cotiiiilc- 

 tenieiil dt'teriiiiiiee. INeanmoiiis il u'cii est pas aiiisi. Coiicevoiis en uffct 

 que I'cquation donnce soil la suivante : 



^-^> dx \ '^ y) dr y' dy ' 



et designons par ?■(«/) la fonclion de y, a laqiieile z doit se rt^diiire par 

 a; ^= o. La vaieur de z, deduite de I'equation (.'() par le d(5ve]oppenicnt 

 en serle , preiidra la forme 



Tons les terines de la s6rie pr^c^dente etanl des fonctions d<^lrrmin6es des 

 variables a? et j/, lorsque la fonction p (</) est eile-inenie di'tfriiiincc, it 

 scnible en rosultor qu'uue seule valciir de c rcmplira la double condition 

 de verifier I'equation nnx diDTerenees parlielles propose'-e, ct de so rediiire 

 a i (?/) pour X zzz o. Neanmoins il est facile de s'assurer que , si I'ou salis- 

 fait aux deux conditions enoncecs par une ccrtaine valeur 



(r-) . , . 2 = X («, y) , 



on y salisfera encore en attribuant a s la valeur plus gt^nerale 



j_ ' +y' 



(7) :. ' ^ itx , 



Z^XWVV) + ex ' 6 



dans laquelle c designe line constante arbilraire. 



Apr^s avoir nioiilre rinsufTisanre des niethodes d'integration fondcies 

 sur le developpement en series, il rucreste a dire en peu de mots ce 

 qu'on pcut leur substiluer. . .i i > • 



Pour deleraiiner le nombre des constantes arbitraires que coniportent 

 les integrates generales des equations diirerentieiles entre deux on plu- 

 sieurs variables, et pour demonlrer I'existence de ces menies irilegrales, 

 il sufTit d'employer les melhodes. que j'expose depuis plusieurs .innees 

 dans mes lecons a I'EcoIe Polytecbnique. Ces metlioiies seront r()J)jet d'un 

 nouveau Memoire. La determination du nombre des constantes arbitraires, 

 en particulier, repose sur le iheoreme suivant. 



Si une fonction ts- (j") de la variable x s'^vanouit pour a; = o, Ic rapport 

 de cette fonction a sa derivee, savoir : 



■nr [x) 



Z'{x)' 

 sVvanouira lui-mcme quand on fera decroitrc la variable x au-dela de 

 touie liniite. 



J'ajouterai que la methode dout je fais usage pour dcmontrer I'existence 



