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 rigourcuse Ics maxima ou minima des fonctions, et les v(}rilaWe3,|VaIeurs 



des fractions qui so prcsentent sous la forme — , on cmploie la serie de 



Ti'vlor. non p.is en la regardant comme composee dun nombre infiui 

 de tennis, inais en !a eunipletant par un restc donl la valeur dcmeure 

 comprise entre cerl<itnos Umiles. 



Apres les considi'ralion? (jiie nous venons d'exposcr, on ne sera pas 

 snrpris de Ironver en d/faut dans c(;rtains cas des propositions generales 

 dtablies par le moyen des ^e^ies. Nous nous conteulerons de eiter a ce 

 sujet les excmples qui suiveut. 

 Soil (a) dyz=f{x,y),dx 



une equation differentielle entre les varjablcs tr, y; ct 



une valeu,r de y propre a verifier cette equation. On d^monlre , par !c 

 moyen des series, que cette valeur dc y est uneintegrale singuliire, toutes 

 les fois quelle rend infini le cocfficiepl dilTerenliel 



4fi^' y) . 



Mais cette proposition n'est pas toujours vraic. Ainsi , I'on salisfait a I'e- 

 qualion dillerentielle 



(3) dy z=[i + {y — a-) log. {y—x)] dx, 



par la valeur y = x, qui rend infinie la fooction 



ri[. + (:,/-.) lon-.Cy^x)] ^1 . _^^ ,; 



(1 1/ ■■-■■ ■ '. ■ . :! ° :\r n::i /hfr. ,yr .:. 



et cependant y = x, au lieu d'etre utie ihteg'f^al'e singiili^rc , eSt fout sim- 

 plcment line integrale particuli^rc , puisqu'^lle se trouve comprise daiij 

 I'int^grale gen^rale, savoir : ' 



X -'I 



log. (i/ — «c) = c . e .'"'■' 1' ,»;;... 



Cost encore par le moyen des series que rond'^lexh^lrie'le plus souvcnt 

 le nombre de conslantes ou de fonctions arbilrairGs due doit renfermer 

 I'integrale generale d'une equation difrerenticlle , ou aux diiferenfes par- 

 lielles. Toiitefois cc mode de d(5terminalion ne saurait etre considere 

 comme sufTisanuiicnt exact. Supposons, pour fixer les idecs, qu'une equa- 

 tion lineaire aux differences partielles renferme avec les Variables inde- 

 pendantes x, y, et la variable principale z, i" la deriveo partielle du 

 premierordre de i, par rapport a x; 2° uneou plusienrs derivees parlii;lles 

 de z, relatives a y. Dans re cas, la valeur g6ni;rale de c ppu,rra etre repre- 

 sentee par une serie ordoniu'e suivant les puissances ascendantes de x, et 

 qui ne renferuiera d'arbilraire que la fonction de y, a laqueUe s est censee 



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