Sur /e c/ei'c/nppemr?if rlcs fnnclions en series , rt stir riiitegrntinn 

 ties eqiiatlons differentiellcs , ou aiix differences parlielles ; 

 par M. Augustiii Caucuv. '^^^ 



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 Poi'u d^roTivrir et demontrer les proprii'tes Ips pins remarqtiables des Mathematiques. 



fonclions, (in a soiivoiit cnii)loye Iciir devcloppcmont en seri<'S, ou suites 



iiifiiiics, cV'st-a-clire compos^f'S dun noinbrc infiiii dc termes; et, p.irmi AcaJt'raie royale des 



le;* genmfelres, ceiix moiiie qui lie se sonl pas resoliis, snivani la nielhotle Scieiues. 



de l.a Granji;e, a fairo de ce developpeiiienl la priiioipale .base du cajcul Janvier 1822. 



inriniiesinial , sea sont da.inoins s<Tvis "pour elablir, pliisieurs theories 



ini()i)iiaiites; par exetnpie, pour deternurier le noiubre d''S coust.nites 



arbiliaii t's , ou des fonclions arbitraires que coiopprlent. les inl^grales 



gi'iieralrs d-s equ*alions difierenliellns, ou aux diirerences parlielles, pour 



calcnier ces inl('j;[rales , pour fixer les caracl^res auxquels on doit recon- 



n.ii're les snhilions parliculieres, ou inlef;rak's singulieres, des equations 



diirerentieilcs, etc. Toutefois, en reuiplacaiil les fon(,>!ions par des series, 



on suppose iinplieitenient qu'uiie fonclion est conipletemeot caraiGterisee 



par ini developpeinent compose d'un noudire infiiii determes, au moius 



taut que ces terines obtieiinent des valeurs finies. Par exeuiple, lorsqu'on 



substiliie a la fonction y (x) la seric de Maclaurin, ct que Ion ccril en 



coiisequeuce 



(.) /W = /(o) + ^/'(o) + ~f'[o) + etc... 



on suppose qu'a un syst^mc doiine de valeurs finies des quaiitites 



y(o)./'H./-(o), etc... 

 correspond tou)ours une valeur unique de la fonclion ({r). Considerons, 

 pour fixer les idees, le cas le plus simple, celui on les quanlit('>s /(i'), 

 j' (") • J (")' t'tc... s'evanouissent toutes a la fois. Dans cctle liypolhe e, 

 on devra.ce semble, conclure dc I'equalion (i) que la fonclion y(.r) 

 s'evauouil ellc-meme. Neanmoius celte conclusioa pcut n'clre pas oxacle. 

 En oO'el, si I'on prend 



I 



on trouvcra 



/(o)=o,/' (o) = (o),/'(o) =.0, etc... 



II en serait encoic de nicine, si Ton supposait 



, , /(-) 



uivraxson c avrU. 



