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 point de vue, ct de d^diiire crs vaicnrs d'linc nielhode iiniforme, qui 

 fiU propre a roridre rnison dcs cxicpiious et dcs difiicullcs qu'cllcs pre- 

 sentent : c'est priiicipiilciiioiil ce que ji- me suis propose de fairc dans ce 

 premier article. Lcs expressions qui rrpresentcnt les somnics de ces se- 

 ries en fonctions de I'angle variable, ne subsislent que pour des valenrs 

 dc cet angle, com|>rises eiitre des limiles detcrminees; ces fonclions no 

 sont point egales idenliquenient aux series qu'ellcs expriment; el si elles 

 n'ont lieu, par exeinple, que pour dcs valeurs positives de la variable, il 

 pourra arriver que la fonction eorrespondante h une serie de sinus, con- 

 tienne des puissances paires de I'angle, et que la fonclion qui repond a 

 Tine serie de cosinus, renferme des puissances impaires, sans que eela soit 

 absurde, puisqu'il ne sera pas pirmis d echanger le signe dc la variable 

 dans ces i'X[)ressions. D. BiTinuiUi a donne un grand nombre dc ces rcsul- 

 tals, parnii lesquelsil nous suflirade ciler pour exemplecetle equation : (*) 



' , 1 ,1 COS. 2 c COS. 3 J? COS. if, 

 — X' TTX A -' = cos. X -i 1 . 4 h etc. , 



dans laquelle w represente le rapport de la circonfercnce an diam^lre, ct 

 qui a lieu pour toutes les valenrs de cc, comprises depuis a? =1 o jusqu'a 

 aj:=:2T. Alais il est a remarquer que Ton fera|oiijours disparaitre la singu- 

 larite quepresentent celle tkjuationet toutes les formules du menie genre, 

 en transportant I'origine de la variable au nnlieu de I'intervalle de scs 

 valenrs, pour lesquelles chaque equation subsiste; ainsi, en meltant dans 

 lequation preccdentc cc — r a la place de a;, elle aura lieu ensuitc depuis 

 iC==. — - jusqu'a a; = -f ,-, et elle devicndra 



ST' a' COS. 2 .r COS. 3 .<• COS. 4 ■'' 



= cos. a; 1 f- etc. ; 



la 4 4 9 lb 



^qualioii dont le premier membre ne contient plus que des puissances 

 paires fie x. 



La question qui fait I'objet du second nrticle est I'inverse de celle quo 

 j'ai Irailee dans le premier: il s'agissait, dans celui-ci , d'exprimer une 

 serie infiiiie de quantiles periodiqucs par une fonclion fiiiie et connue; 

 dans rarlicle second, il s'agit, au conlraire, de transformer une fonction 

 donnee en une serie de sinus ou de cosintifi qui puisse en represenler 

 les valeurs, pour toutes les valeurs reelles de la variable comprises dans 

 un inlervalle determine. D. Bernoulli a resolu cette question, pour une 

 classe tr^s-nombreuse de fonctions rationnelles el entiires, et la formulc 

 citee plus haul en offre un exemple parliculier; mais la sohilion de cc 

 probleme, |)our une fonclion quelconque , continue ou discontinue, se 

 trouvKit deja dans les Memoires de Lagrange sur la Tlieorie du son, et 

 encore plus explicitemeut danssesrecherches subiequealcs sur di/}'6re}ils 



(*) Memoires de PcUrsbourtj, annte 1772. 



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