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royale des Sciences. No pouvant en offrir ici qu'unc analyse trds-courle. je 

 rappellcrai d'abord quelques-uns des principes sur lesqucls je ni'appuie; 

 je cilerai cnsuite quelqucs formnles geueralcs, que je choisirai do prefe- 

 rence parmi celles que j'ai donuues dans le Memoire de i8i4, ct dans 

 mes Iccons au College de France. 



J'appelle inlegralc definie singidiere^ une inlegrale prise relativement 

 a line ou a plusieurs variables, eulre des limitesinfiniinenl rapproth^cs de 

 cerlaines valeurs parliculiercs attributes a ces niemes variables, savoir, de 

 valeurs infinimcnt graudes , ou de valeurs par lesquelles la fonction sous 



le signe / devient infinic ou indeterminee. Ces series d'integrales ne sont 



pas ndccssairenient nuUes, et peuvent oblenir des valeurs finies ou menie 

 infinies. Supposons , par exemple, que la fonction f{ot) devicnne iiifinie 

 pour ajrra;^. Designons par X- un nonibrc inflniment petit, par /I la vraie 

 valeur du produit X/ (x^ + k) , correspondante a une valeur nulle de X, 

 el par «', a" deux constautcs positives. L'integrale singulit;re 



(.) . J f[x)d^ 



sera ^quivalente a I'expression 



et par consequent elle dependra, i° de la racine x„ de liquation ——- =o, 



2* de la constante arbitraire — ;— . Ajoulons que les deux inl^grales 



,r„+A«" x„+A«' 



/ J'{x)dx, I f(x)dx "■ 



J „ -j- A X .!', / «'' 



seront egales ct de signcs contraires, a nioins que, pour des valeurs d^- 

 croissantes de X, les deux produits X-/(x„ + X), — ^Ji-^- — ^) "^ 

 convergent vers deux liinites differentes. 

 Considerons niainteuaiil l'integrale double 



(5) Jjf{x,y)dxdy, 



et supposons d'abord, que, la fonction f{x, y) devenant inflnie ou in- 

 delcrniince, quel que soil x, pour i/ = F (x) , les integrations relatives 

 a 2/ et a x doi^eut eiro elFectuees, la premiere entre les limiles 



y=F{x)+AQ', y=F{x)+AQ", 

 k d^signant un nombre iafiuinient petit, et «', £' deux fonctions posi- 



