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 lives mais arbitraircs de x; la secondc entre les limllcs constanlos 1022. 



a; = x', xz=:x" 



Si Ton nommey^ la vraie vaieur du produit /i/" (£c„, F(;k) + X), corres- 

 pondante a X= o , la vaieur de I'intcgralc singuliere proposee sera 



(4) Jf. 



dx. 



Cette int^grale d^pendra done non-seulement de la fonction d^terminee 



de X , que nous avons representee par F («) , niais encore de la fonction 



, . . £" 

 arbilraire — p-. 



Supposous enfin que la fonction f{x, y) comprise dans I'int^grale (3) 

 devienne infinie pour un sysl^me isole de valeurs de x et de y, repre- 

 sentees par a;„, y„, el que chaque integration doive etre eflectuec entre des 

 limites constantes ou variables, mais tr^s-rapprochees de ces valeurs; 

 alors, en posant x =x^ -|- r cos. p, y ^= y. + '' sin. p, on Iransformera 

 I'intcgrale (3) en cette autre 



IIJ'(x^ + f COS. /J, y„ -f r sin. 7>). rdrdp, 



dans laqucllc I'inl^gralion relative a r sera la seule dont les deux limites 

 restent infininient voisines. Si ces limites sont de la forme kf' , kp"; p' , p" 

 d^signant deux fonctions positives de p, et si, de plus, on appolle fl la 

 vraie vaieur du produil k f [x„ -j- k cos. p, y^ + ^' siu. p) , correspoudanfe 

 a A • = o, I'inlcgrale (3) dc'viendra 



(5) JfA-T-}''' 



Elle dependra done de la fonction arbitraire -——. Dans un grand nom- 



p 

 bre de questions qui se resolvent a I'aide des integrales singulieres , la 



fonction /" est de la forme 



h 



II COS. ' p -\- -ill COS. ji sin. p -{- c sin." p 

 a, b, c, h designant des quantiles constantes. Alors, en attribuanl a p' , p''' 

 des valeurs constantes, et supposant I'integraie (5) prise entre les limitcn 

 p =0, p = «.T, on trouve cette intcgrale ^quivalente au produit 



(6) . , — I 



Vac — /(.^ 



qu'on obliciit en mulli|>Hant ahl — |— J par la surface de i'ellipse qui a 



pour equation 



ax' -f 2b xy -f cy'=: i. 



