tit6 reelle — log. (4). ou log'. (2), laquelle est priJciscmcnt la valeur prln- 

 cipalc (Ic I'inlcgrale proposee. 



Post-Scriplum. li serait facile de parvenir aux Equations (ji) et (33), 

 en parlant ilcs cqualions (29) et (5o). De plus, lorsquc le developpeiiifiit 

 de {(x) , ccsl-a-dire , la serie 



f (o) + - f (o) + — f" (o) + etc.. 



est convortfcnt pnnr toutes les valours de tn inferieures a lunil^, les for- 

 niuJes (28), (29), (3o), (3i) et (33) se doduisent dircclciiieiil d'uii llido- 

 r^me de M. Paiscval sur la soaimalian dcs scries, th(!'or^uic qu'oi) peut 

 ^noncer coninie il suit. 

 Si I'ou pose 



(37) { 'r^ 



)=-*. + (<.« + l.x' + etc., 



<P (.r) = n„ + a, 00 + fl.as' + etc . 



" I 



ct 



(38) ' -^ W == «o*. + «x*.^ + «>*.«■ + file-, 



on aura 



(39) +(.-:/)=^/{^(W'^-)x(^e-^^-'i +.(-e-^^-'),(z//^-')]^/;' 



o 



Co theorime, que Ton ddTiiontrc inim^diatement par le d^veloppcmeut 

 dcs fDiiclions que renferment les deux membres de I'equation (39) en 

 serii's ordonnees suivant les puissances ascendantes des variables x cty, 

 se trouvo ainsi rigourcusement ^tabli pour toutes les valeurs da; ct Ay 

 qui ri.iuleut ccs s<5ries convergcnlcs, ct par consequent pour toutes celles 

 qui rondent convergentes les series suivant lesquelles se dcveloppent 

 f{x) ct x{y)- Dans le cas particulier ou Ton prcnd a; =: 1 , «/ = 1, 

 requalion (Sg), niultiplie-c par tt, se rcduit d 



(4o) x+ (0 = -^ /{ , (/^-') , (.-'''^-') + , (e-'"/-') , (/*^-) } </... 



o 



On tirera de celle-ci 



