De la conihiire dcs surfaces , et sohdion chin cas pnrlictilk-r 

 cle la peispeclh'c clcs siirjacvs cuurbcs ; par iV/. Haciiette. 



L'oth tlu spcctalcur dtant coiisidere conimc un point, te cone qui a ., 

 ce pouil pour soniniet , et qui est circonscrit a une surface donnec de 

 forme et cle position , touche cette surface suivant unc ligne qu'ou 

 nomnie contour apparent. Cclie ligne, plane sur les surfaces du second 

 dfgre, droile sur les surfaces devclopjiables, est en general une courUe 

 a double courburc; niais il peul arnver que I'lin des rayons visuels, 

 arete du cone circonscrit, soit une tangenle du contour apparent. C'est 

 ce cas partieulier que M. Hachelte avait reniarque depuis long-lcmps 

 dans son Cours de geometric descriptive a I'Ecole Poly technique, et 

 qu'il a resolu par la geometric et par I'analyse. 



Solution geomilrique. 



Les surfaces se divisent en deux gandes classes; les uncs pour les* 

 quclles les deux rayons -de courbure principaux sont de meme cote par 

 rapport au plan tangent; les autrcs pour lesquelles les rayons sont 

 opposes, ou, suivant 1 expression recue, de si(jncs coniraires. Unc sur- 

 face individuclle pent aussi elre composee de plusieurs zones, dont les 

 courbures preseiitcraient les memes differences, et la solution do la 

 question proposee nc s'appliquc qu'aux surfaces ou portions de surfaces 

 pour lesquelles les rayons de courburc principaux sont en chaque point 

 de signes contriiires. Parmi ccs surfaces, M. Hachette distingue, conune 

 la plus simple, riiyperboloide de revolution, dont on connait trois 

 modes de generation, savoir, deux par la ligne droile, ct le troisieme 

 par une hyperbole qui tourne autour de son axe imaginairc; il deter- 

 mine les valeurs des parametres de cet hyperboloide, pour qu'il devienne 

 osculateur d'une surface, en uii point donne. 



De i'hypcrholoide de revolution osculateur d'une surface. 



Les plans rectangulaires du cercle de gorge et de I'liypcrbole meii- 

 dieniie dun hyperboloide do revolution se coupcnt, et, pour, le point 

 d'interscetion , les rayons de courburc principaux sont egaux aux rayons 

 fie courbure de ces deux sections normales. Nonimant A Tangle que la 

 droite genera trice de riiyperboloide fait avec le plan du cercle de gorge, 

 Il le rayon de ce cercle, R' le rayon de courbure oppose de Ihyperbole 

 meridienne. on Irouve que ces trois quanliles sont lites entre elks par ia 

 relation suivante : 



11' = n tang= A. 

 Pour que I'hyperboloide soit osculateur d'une surface , en un point 

 donn^, en supposant que cc point coincide avec un point du cercle de 



