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L'hypcrboloide de revolution ayant an point m pour Vun ties rayons do 1 02 j. 



courburo principaux, la droile r?iO, laqueiic est aussi lu r;iyun di- cour- ^ 



burc principal de la surface, il est evident que cct liypcrboldide serait 



osculateur de la surface, si Ton avait R" = R', puisque Ics deux suifaccs 



auraient au point ni Ics memos rayons de conrbure principaux R cl R'; 



d'ou il suit qu'en porlant la quantitc connue R" on R tang' A sur la 



normalc RS, dc O' en ,«. vers le point in, cc point u sera vn dehors ou 



en dedans du cercle osculateur tinv , selou que R" sera plus petit ou 



plus grand qui; R'. Prenant iiii autre point in' du contoui- apparent, 



on Irouvera de la meine maniere sur la normalc R' S', un point /x' 



analogue au point /u.; la suite des points/^, //.' forme unc courbo 



qui est un lieu gcom<5lrique du [loint demundc; I'inlersectinn de cctle 

 courbe ct du contour apparent, determisic Ic point dc ce conlour, pour 

 lequel sa tangenle passe par I'ocil du spcclatcur. En appliquant cetio 

 soliili(ui au cas du tore, on remarquei'a que le rayon de courbiire prin- 

 cipal R est constant pour cette surface. 



On complelera par cetle solution, la perspective du piedoucho, qui est 

 dessinee pi. gP du Trnitii de Gcoinc'trie descriptive de M. IlacheKe (edi- 

 tion de 1822 , page 209). Ayant dej.i li; contour apparent j;;3j d (fig. 2 ), 

 a' &' ■) ' (fig. 5), on a conslruit la courbe lieu geouielrique du point de- 

 niande; celte courbe a pbisieurs braiuhes, ct on n'a conserve sur le 

 dessin que cclles qui rencontreni le contour apparent. 



On voit dans la projection horizontalc (fig. 2) quatre brandies sy- 

 melriquemcnt placees par rapport a la droile A Fee. Les deux branches 

 As, Ap coupent la jirojcction du contour apparent aux points £ et » ; 

 leurs prolongements audcla de la droile GH (marques d'un trait ponc- 

 tu<^'),-ne sont d'aucune utililc. II en est dc nieme dcs deux branches 

 A5, A J qui determineiit les points ; , S, et qu'on n'a prolongecs en-deca 

 de GH, que pour niontrcr la forme de la courbe. 



La projection verlicalc (fig. 5) fait voir les branches f' i" , 5 ' -" qui 

 coupent la projection verlicale a' &' -j ' du contour apparent aux points 

 f', J-'; le premier i.' correspond aux deux points e, ? (fig. a) de la 

 projcclion horizontale du contour apparent, et le second ;' aux points 

 S, y de la meme projectiotl. 



La generatricc meridicnne du piedouchc est une ellipse dont on cnn- 

 natt |)our chaque point un dianietre ct son conjugue, et par consequent 

 le rayon de courbure, qui est aussi le rayon principal dc courbure de la 

 surface. La normalc sur laquellc on comple ce rayon, elant prolongec 

 jusqu'a I'axe dc revolution, la partie de cette normalc comprise eiiire 

 J'ellipsc m(!'ridiennc et I'axe ^de revolution est le second rayon principal 

 dc courbure. Le rayon dc courbure d'une ellipse au point I\l (fig. /j) 



a pour expression — —, ah elant le dianietre parallcK.' a la tangiMile 



