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 Note sur nil thcoicine d'aiuilyse. 



1824. 



Iiislitut. 



!■! I'eviici- i!Sv/|. 



TuEOBEME. Soient MATHEMATiorrs. 



(1) f (a-) = k{x — a) [ac — h) [x — c)... = kx'" + ix'"-' -\- . . + /w -j- 7 , 

 et 



(a) F(«)^K(ic— A)(£c— B)(a;— C^.. .=Kx'^ + Lx^-'+ . . + Px-i-Q, 



deux poiynomes en x, ie premier du degre in, le second da deijrc n; 

 soil d'ailieurs II itne qtiantitA constanle. On pourra toujours former 

 deux autres poiynomes u,v, ie premier du degre n — 1, ie second 

 du degre m — 1 , et qui seront propres d verifier {'equation 



(5) u{{x) + vF (x) =R. 



Demonstration. En vertii dc In formule d'interpolation dc Lagrange, 



la soiumc des produits dc la forme ,. , , 



-(^ F (■r\ 

 (x—6) jx—c) .... (x— A) (x — B) [x — C]... _ x — a ^ ' 



(o^T) (a — cj .... (o — A)' (,1 — B) [a — CyTT. ~~ V {a). r(a)' 



et des produits de la forme „ , , 



^ [x—a] [x-h) {x-c)....{x-V,) {x-C)... _ ^ ^"^l x~k 

 (A-a) (A-*) (A-c).... (A-li) (A-C))... " ^ r ( A ). F' (A)' 



sera equivalente a R. Par consequent on verifiera requation (5) en prenaut 



'f(x)A (^{x)\ (v{x)^ 



(-1) ti = R ^ f(A). f'ca") Tjh). F' (F) rrcy~F(c] + ^'^'^- }> '-■t 



^x—a j -\- _\x—{ij -f yx—Cy 

 (5) V = R < F (ttj. fr(7) • F(*yT'"(-^ F(c). f (c) + ^''^• 



Done, etc. 



N'ota. Si Ton voulait determiner direclement les poiynomes u ct x' 

 de mani^re a verifier I'^quation (8) , et en reduisant leurs degrcs aux 

 plus petits nombres possibles, il suffirait d'observer qu'cn vcrtu de cctle 

 equation Ion doit avoir, 



pour xz=z \, u = ..; pour x = B , u -^ — — ; etc ... . 



1 [A) 1 [M) 



II , R 

 pour as = a, v= — — ; pour x = b , v= JTfy etc 



