ct du suivanl 



( liiO ) 



R 



AA/a CAAn C\ f h K\ f h BW* C\ f c A\ f c h\ f c C 



y j\y y j\y y j \y y i\y y j\y y j \y y j\y y J\y u 



Cela pos6, la valeur de R, fournie par I'equatioii (6) ou (7), sera 6videm- 

 iiicnt unc fonclion enlri're dc 1/, dun degre inleric-ur on lont an plus (5gal 

 an produit mn. De plus, si dans celte hypolhesc on ccrit f(cr, y), Y[p,y') 

 au lieu de f(a;) et de F(x), la formule (3) dcviendra 



(12) «t f (tc.y) + V F(a;jy ) = R, 



ct il est clair que toules les valeurs de y , qui permettront de verifier 



siniullancnient les equations 



(i3j {{x,y)=:o, F{x,y] =zo, 



dcvront salisfaire a Tuquation 



(i4) R = o. 



Corollaire !\. II suit du corollairc precedent, qu'etant donndes deux 

 Equations algebriques en x et y, I'une du degrc^ m, I'antre du dogr6 n , 

 on pourra loujours en deduire, par reliminalion de x, une equation cny, 

 dont le degre sera tout au plus egal au produit mn. De plus , on formera 

 aisemcnt le premier niemtre de I'cqualion en y, par la niothode fondee 

 sur la consideration des fonctions syinetriques. 



Corollaire 5°. Lorsquc les quantiles k ,i . . . p , q ; K, L . . . P, Q, 

 c'est-a-dire les cocfTicients des deux polynomes i [x) et F(a;) se r(5duisent, 

 au signe jires, a des nombres enliers, on pcut en dire aulant des coeffi- 

 cients des fonctions u et v delerniinecs par les formulcs (8) ct (9); et la 

 valeur numerique de la qunnlile R, donnee par I'eqnation (0) ou (7), est 

 pareillemeut un nonibre cntier. Dans ce cas, si uue mcnie valeur entiere 

 de X rend les polynomes i{x) et F(a;) divisibles par un certain nombre p, 

 on conclura de la formule (5) que p est un diviseur enlier dc R. En 

 d'aulres lernies, si Ion adople la notation dc M. Gauss, les formules 

 (i5) i [x] ^ o [mod . p) e\.Y^{x) ~o [rnodp) 



entraineronl la suivante 

 (iG) R = {mod p). 



A I'aidc de cetle derniere formule, on d^terminera facilement lous les 

 nombres entiers qui i)ourronl clre communs diviseurs des deux poly- 

 'nonu's f(.'c) ct V{x). Le plus grand de ces nombres entiers, ou le phis 

 grand comninn diviseur cntier des deux polynomes, sera precisement la 

 valcnr numerique de R- Si celtc valeur numerique sc rcdiiil a I'unite, 

 les deux polynomes n'auront jamais de comnuins tliviseurs; ils en anront 

 une infinite, si die se reduit a zero. 



