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 polynomes c^.f^ on soil oblige de faire croilroy, on cliprclioia pnrmi tons 

 les polynomcs rcslants un tioisi^me polynomc tel, qu'cn egalant ce der- 

 nier polynome. aiix deux premiers, on obticnne pour y la plus petite 

 valeur positive possible. Soil tv Ic troisienie polynome dont il s'agit. 

 LY'quation double 



6p — C(i ^_ Cr 



determincra pour x el y \in nouveau systeme de valeurs que je rcpre- 

 senterai par 



SC ■=! Xi y ■=(",, ; 



et cc systeme pourra etre celui qui doit resoudre la question proposee. 



II la resoudra effectivement. si pour des valeurs de y supericures ^ S, 

 Ic polynome Cr cgale a celui des polynomes e-p, e^, ou Ic coefficient d'x 

 a un signc conlraire, devient superieur a la valeur commune des trois 

 polynomes Cp, e,,, e^ correspondante an systeme 



a; =: j£, 2/ = S,. 



Dans le cas contraire, soil e, celui des deux polynomes Cp, e, oii le coeffi- 

 cient d'x est de signe oppose au coefficient de la mcmc variable dans e^ : 

 on cherchera un uouvcau polynome es tel que 1 equation double 



determine la plus petite valeur positive possible de y — 6,. Alors on 

 obtiendra un nouveau systems de valeurs d'a;ct d'y, que jcdesigncrai par 



X = (Xa y =r Cj , 



et qui pourra rdsoudre dans beaucoup de cas la question proposee. 



En continuant de meme, on essnyera successivcmcnt plusieurs syslcmcs 

 de valeurs d'a; et d'y. Pour chacun de ces systtmes trois polynomes au 

 moins deviendront a la fois positifs, egaux entre cux et superieurs a tons 

 les aulrcs. Le nombre des essais ne pourra done jamais surpasser le 

 nombrc des syst^mcs qui jouissent de cette propriete remarquable. II 

 s'agit maintenant de determiner la limite de ce dernier nombre. 



Pour y parvenir, il est necessaire d'observer que, si Ion donne aux 

 deux variables x ct y des valeurs determinecs, on pourra former relati- 

 vement au systime de ces valeurs, trois hypotheses differentes. En cffet 

 i! pourra se I'airc, i" que pour le systeme dont il s'agit un seul polynome 

 devienne superieur a tousles autrcs; 2° que deux polynomes Cp, e, devien- 

 ncnt eg.iux entre eux et superieurs a lous les autrcs; 5' que trois polynomes 

 au moins Cp, e,, Cr soient cgaux entre cux et superieurs a tous les autres. 

 Si la premiere hypothese a lieu, elle subsistcra encore, lorsqu'on fera 

 varicr separement x cl y entre certaincs limitcs. Si la sccondc hypothese 

 a lieu, bile subsislera encore, lorsqu'on fera varier x et ?/ entre certaines 

 limitcs, de mani^re toutcfois que I'equation Cp = c, spit toujours satis- 



