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faile. Mais si la lroisiit)ie hypothtse a lieu, ciHe subsislcia uiii((ueiiifnt 1 o 2 4. 



pour Ic systtmc de valcurs d'x et d'y determine par I'equalion double 



ep :=z Cq = Of 

 Suivaiil que I'uu ou I "autre de ces trois cas aura lieu, je dirai que le sys- 

 tenie donn6 est dii premier, dn scrond ou du Iroisienie ordre. Cela pose, 

 les theoremcs 4°'% 5°", 9°"° et 10""= du Memoire presente a I'lnslilul, sufli- 

 lont pour determiner la liniitc du notnbre d'essais qu'on sera oblige de 

 faire , dans le cas ou Tom ne considtro que deux elements. Nous allons 

 reduire ces qualre th<5oremes a cc qu ils doivent etre dans le cas parti- 

 culier dont il s'agil. 



THEORIiME IV""". 



Si Ton passe successivcmeiit en revue tons les syslemcs possibles dc 

 valcurs da; et d'y, on trouvera que les syst^mcs du premier ordre ont 

 pour limitcs respectives les syst^mcs du second ordre, tt que ccux-ci ont 

 eux-niemes pour limites les systemes du troisieme ordre. 



Demonstration. Comnie pour chaque systfeme de valeurs iXac ct d'y 

 il est necessaire qu'au moins un polynome surpasse lous les autres, les 

 divers systfemes de valeurs A'cc ct d'y se trouveront reparlis par groupcs, 

 si je puis m'exprimer ainsi , entre les divers polynomes donnes. Dans 

 quolques-uns de ces groupes les valeurs des variables resteront toujours 

 finies, dans d'autrcs elles pourront s'etendre a i'infini. De plus, comme 

 on ne pourra sortir d'un groupc sans passer dans un autre, on rcncon- 

 Irera n^cessairement dans ce passage des systemes pour l(;squels deux 

 polynomes ii la fois deviendrout superieurs a tons les aulres. Ainsi les 

 systemes du second ordre serviront de liniiies respectives aux diflerents 

 groupes entre lesquels se trouveront reparlis les systemes du premier 

 ordre. 



Considerons maiiitenant un sysleme quelconque du second ordre, par 

 exemple, un dc ccux pour lesquels les deux polynomes ty, e„ deviennent 

 a la fois egaux entre eux cl superieurs a lous les autres. Si Ion fait varier 

 en meme temps x et y, mais de maniere a laisser toujours subsister 

 I'equation e;,=:e, , on obtiendra, du moins enl re certaines limites, de 

 nouvcaux systemes du second ordre semblables a celui que Ton consi- 

 dfere, ct pour chacun de ces systemes la valeur commune des deux po- 

 lynfcmes e^, , cq sera superieure a celle dc tons les aulres polynomes. Mais 

 si Ton fait eroilrc ou dccroitre I'une des variables, y par exemple, d'une 

 maniere contiime, il arrivera un moment oa les deux polynomes Cp ^ Cq 

 se trouveront egcdes par un troisieme. Ainsi la seric des syslemcs du second 

 ordre qui correspondent a una meme equation entre deux polynomes 

 donnes, aura en g(^neral pour limitcs deux combinaisons du troisitme 

 ordre, I'une de ces limiles etant relative a des valeurs conslanles de 

 y, cl I'autre a des valcurs decroissanles de la meme variable. II peut 



