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 Nous avons deja remarque qua chaque systeuie du premier ordre 

 eorrespondait un polynome sup^ricur a tous les autres; a chaque syslcme 

 du, second ordre,. deux polynomes sup(!'rieurs a tous les aulros; et A 

 rfeaque systeme du troisi^me ordre, trois ou uu plus grand nonibre de 

 polynomes superieurs a tous les autres. Cela posd, il sera facile de voir 

 que, si les systemes du premier ordre qui correspondent au polynome Cp 

 ne pcuvent s'ctendre a des valeurs infinies d'x et d'y , les series de sys- 

 tfcmes du second ordre correspondants a ce meme polynome seront cu 

 nonibre egal a celui des systemes du troisifeme ordre qui leur servent de 

 limites. Car chaque se'rie de systemes du second ordre aura n^cessnire- 

 nient pour limites deux systtmes du troisiime ordre, et reciproqucuient 

 chacun de ces derniers servira de limites a deux series dc systemes <!u 

 second. Soit maintenant e, un polynome qui , conjointement avoc le poly- 

 nome Cp, corresponde a une serio de systemes du second ordre; et sup- 

 posons encore que les syst6mes du premier ordre qui correspondent au 

 polynome e^ nc puisscnt s'(itendre a linfini , les systemes du troisieme 

 ordre qui corrcspondront a la fois aux deux polynomes Cp, e, seront au 

 nombrc de deux. Par suite le nonibre des series de systemes du second 

 cidrc , qui corrcspondront au polynome eg sans corrcspondro au poly- 

 nome cp, surpassera d'une unite le nonibre des systimcs du troisieme 

 ordre, qui corrcspondront au premier polynome sans correspondre au 

 second : d'oii il est aise de conclure que le nonibre des series de systemes 

 du second ordre qui corrcspondront a I'un des polynomes Cp, e, , surpas- 

 sera dune unit^ lo nonibre des systemes du troisieme ordre correspon- 

 dants a CCS memcs polynomes. En general designons sous le nom de sys- 

 itmcs contigus du premier ordre, ceux qui ont pourlimite commune une 

 aieme serie de systemes du second ordre; et soient Cp , e^ , Cr , e, ., et ■ ■ ■ 

 une suite de polynomes correspondants a des systemes du premier ordre , 

 tous contigus lis uns aux autres, et dans lesquels les valeurs des va- 

 riables nc puissent s'elendre a I'infini. On fera voir, par des raisonne- 

 mentsscniblablcs aux precedents, i° que le nonibre des series de systemes 

 du second ordre correspondants a lun des trois polynomes ep,e , tr • 

 surpassc de deux unites le uombre des systemes du troisieme ordre qui 

 leur correspondent; 2° que le nombre des series de systemes du second 

 ordre qui correspondent a lun des quatre polynomes Cp, e, , e,^ e, , 

 surpasse de trois unites le nombrc des systemes du troisieme ordre 

 correspondants a ces memes polynomes, etc.... Si done Ton designe 

 par Ni le nombrc des polynomes ep, Cg, er , e, , et . . . . 



par Na le nombrc des series de systemes du second ordre qui corres- 

 pondent a lun d'eux, 



par !Nj le nombre des systemes du troisieme ordre qui correspondent a 

 I'un de ces memes polynomes, on aura geueraleraent 

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