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' N, = Aj + N, — 1 , 

 oil (G) ^, +]>':, = N. + 1. 



D'ailleurs, si Ton suppose que la scrie e^ , c, , Cp, e,, Ct .... rcnformc 

 tous lis polynomes doahes . a I'exceplion dun soul, el que Ton vcnillo 

 passer de rliypolhese ou qucl([ues systeineg du premier el du second 

 ordrc s'etendont a I'infini , a celle dans laquelle tous ius syslemcs iie 

 pourraicnt s'etendrc qu'a dcs valeurs fiaies d'cB et d'y, 11 faudra fairc 



N. =IW, — I, 



Na = M„ 



N3 = M3 + I. 



Cela pos^, r^quation (6) devicndra 



M, + Ms = M, + 1. 



c. q. f. d. » • 



Remarque. Lc Ih^or^nie precedent peut s'interpr^ler , en geometrie, 

 de la mani6rc snivante. 



Dans \\n polycdre ouvert par sa partie superieure, la somme faite du 

 nombrc des faces ct du nombre des sommcts surpasse d'unc unite le 

 n(*i)bre des aretes. 



Pour deduirc celte proposition du theoreme d'Enlcr, il suflit de coii- 

 siderer uii polycdre ferine, ct de conccvoir que dans ce poly^'(!re Ics 

 diver.-^cs aretes qui concourent a un nieme sonimct pris dans la' partie 

 superieure, s'eeartcnt I'une de I'autre et divergent vers Tinfiiii. 



TnEOREME IX"". 



Chaque systcmc du troisieme ordre sort de liniite au moins a trols 

 series de sysl^mes du second ordrc. 



Dimonslration. En effet, chaque systimc du troisieme ordre corres- 

 pond au moins a trois polynomes Cp , Cq ,Ct . ■ ■ ■ De plus, parmi les series 

 de svslcmes du second ordre qui correspondent a I'un de ces polynomes, 

 il "v en a toujours n(5cessairement deux qui ont pour limite commune le 

 svsteme du troisieme ordre que Ton considire; et reciproquement les 

 series de systemes du second ordre, qui ont ce dernier pour limite. cor- 

 respondent toujours a deux des polynomes dont il s'agit. Par suite le 

 nombre de ces series est toujours ^gnl a celui dcs polynomes Cp, e,,, e, . . . 

 II est done au moins egal a 5. 



Interpretation giomdlrique. Trois arftes au moins d'un jioly^'dro sc 

 reunisseiit toujours a chacun de ses somnu^ts. 



Coroilaire. Soil toujours Mr, le nond)rc des systtmes du troisieme 

 ordre, et M, le nombre des series formees par les systemes du second 



