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 mathematiques. 



Note siir les surfaces develop/ al//es , par M. Poisson. 



L'cqualion generalc tics surfaces dcveloppaljlcs r.'snUc, corame ou salt, tic reliiniualion 

 tVunc Tariable a, enlrc ccs tleux etjuations : 



z + j: (f tt -(- y ^^ a + c, =: o , j 



^■—r- +r-, — h ' =o. I 



da. da. I 



flans lesquelles x,y, z sont Ics coortlonnt'cs tlun point tiuelcontjuc, cl ipa. et ^a. tlcux fonc- 

 lioQS arbltraires. Au moyen de ccs tlcux foncllous, on pent assiiiellir uue surface tic cctle 

 espece a rcmplir tlcux contlillons , comme tie passer par deux courbcs donnecs, dc louclier 

 deux surfaces donnees , de passer par nne courbe et de toucher uue surface, ou eufin de 

 toucher nijc surface suivaut une courbe delerminc'e , ce qui prcsenle aulant de problcmcs 

 differents. Lobjct de cette Note est dc rcsondre ccs problemes d'une niauitre plus directe et 

 plus simple fju on gc le fait ordinairenient. 



Supposons d'abortl tjuc la surface dt'veloppable doive passer par une courbe dont Ics p([un- 

 tions rt^solues pnr rapport a X et y , soient 



x=fz, y=:¥z. 

 Ces valeurs devront satlsfaire aux Equations (i) , quelle quo soil la variable z; on aura done 

 z -\-J'z ipa. -{- F z4' c. -]- a, = o , J 



d(fff, d-i^o. \ (2) 



/: — — + Fz -— +1=0; j 

 da. da, I 



ct si Ion cliniine s eulrc ces deux equations, il en rcsullera une equation diffcrenliellcque 

 nous rcpresenlerons par 



;, — — , ^J/a, — — , « = o. (j) 



da. da. j 



Les fonclions (fa et ■v|/a devront done elre liccs cnlre elles , soil par son inlcgralc, soil par sa 

 solution parliculicre. Or , la seconde equation ( 2) i^lant la diflercnliejle de la premiere , prise 

 en regardant z comme constante, il est evitlent que I'iutcgrale de Tetjuation (3) sera cetle 

 premiere etjuation (s), dans laqucllc ou meltrail a la place de z uue constante arbilraire c, 

 ce fpii donne 



c -^-f cilia. + Fc 4 <* + «=: o. 

 Mais en liant les fonctious iS/a, et -i^a. par celte equation , la surface dt>veloppahIe serait scu- 

 lemeut assujcllie a passer par le point de la courbe donnee, qui ri^pond a « r= c, el non pas 

 a passer par celle courbe. Ce n'cst done pas I'inlt^^rale de Tcqiialion (3) qui rcnfcrme la so- 

 lution du problcme propose (* ) ; et , pour le rf'soutlre, i! faudra recourir a sa solulion parli- 



(') Ctlte .exclusion de rintt-gralc , a laqucllc on doit subslitticr la enlulion parliculicre, a egalcment lieu 

 dans le probleinc general dc la rectificaljon des courbes {Corrcspondance sur I' Ecole Polijtcchni'jiic , totii. Ill, 

 pag. 2j), el dans la question ou il s'agit dc tiouvcr I'eqiialion dc la developpanle , d'aprcs celle de la deve- 

 Joppee {Tlicoric dcs fonttions y pag. 208). 



OCTODBE 1825. ig 



