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A' = X" + Y' — 2\Y cos 15; e. 



c' = Y' + Z' — aYZ cos C; c'. 



<r =: Z' + \' — a\Z cos D c". 



EliminantX, Y. IVqaalion finale serail en Z du luiiticme ilegre. Jl. IacpoIx a IiuIhiih' cille 

 solution dans sou CompUmenl de geo/ndlrie , prcmiiTe edition, annce i-g5, pnyc b5 , et 

 dans niie edition postoricnre , it a rappele la solution d Estevc , do i-54. 



En 1 7t)5 , Lagrange a donne line solution plus simple , en prenanl pour inconnne Viinc des 

 trois aretes , el pour les deux autres inconnucs , Ics rapports de la premiere arete a la se( onde 

 et a la trolslcme. Ce mode de solution est indiquc dans Ic Journal ttct K coles norma tfs de 

 I'anriee 1795, tome IV, pages 4ii-4'5- En snpposanl dans les trois eijuallons prceedcntes 

 ^ » '^ I ^ > 'iu<^ 1 arete Z soit prise arblirairemcnt , et que , par rcxtrcnillc de cetle arOle , on ait 

 mene nu plan qui coupe la pjramide suivant un triangle des cutes b, c, d , seniblab'.e an 

 triangle donne hasc de la pyramide, la similitude de ces triangles donuera : 



ni et « rtant des constaiiies counues ; d'oii il suit qu'on aura , pour determiner X el Y, Ics 

 equations suivanles : 



X» -1- Y' — 2XY cos B = m (Y' -f Z' — 2YZ cos C) (/) 



X' + Y' — aXYcosB = n (Z' + X* — 2XZcosD) (J')i 



prenant la valcur de Y' dans IVquiliou (_/'), et la substituant dans I'equalion {f) , on aura , 

 aprcs la suljslilulioQ , unc valcur lineaire de Y, an movcn de laquelle on cbangera I'une des 

 equations fc\.j' en une autre, qui necontiendra que I'iudetcrminee Z ct Tinconnue X elevee 

 a la quatricme puissance ; on detcrmicera cnjuite I'arbitralre Z , par la condition que leS 

 c\tr^miles des trois arites X, Y, Z soicnt Ics somniets d'un triangle donne, base de la 

 pyramiilc. 



Eslive, dc Jloulpellicr, avail remarque que Ic problemc de la pyranilde Irlangnlaiie qu'd 

 avail resolu, nV'lalt pis de pure speculation, et qu'il pouvail elre utile dans la geogi-.:pble, 

 pour la solution de cclte question : 



(c 1 lanf place sur le soraracl d'une montagnc , et counaissanl les distances qn"il y a enlrc trois 

 1 objcis qu'on dccouvre daus la plaine, il s'agit de determiner du meniesommct, par les 

 « regies de la trlgonometrie , la bauleur de la moutagne, et la distance a eliacun des objels 

 » qui sonl dans la plaine; enfin , tout ce qui appartlenl a la py ramide , dont la base conuue 

 " est dans la plaine, el le sommet a Ta'cl de I'observateur , qui y mesure les angles fornii's. » 

 Oq sail que la geometrie descriptive a pris naissance a I'Ecolc rojale du genie qui fut 

 etablie a Mczieres , en 1748; la melbode des intersections des surfaces courbes fai.'ait parlie 

 de rcuscignenKnl de cetle Ecole, el on I'apj liquait a la solution du problime d'Eslive; elle 

 elait connue de Monge, qui a fait voir , dans son Cours de geomelric dcscriplive aux Ecoles 

 :iormales de 17,75, que la solution, par cetle mtdiode, consislait ii recardcr cliaquc cote de 

 la- base dc la pjramide, comnie la corde dun arc capable dc Tun des angles plans donnes 

 qui fornieut Tangle diedre de eelle pvianiltle; eliaeue arc, en lournanl sur sa corde. 

 eiigendre une surface de revolution, et les trois surfaces de revolulion ainsi engcudrecs se 

 eoupeni en i\ks points, dont cbacun est le somniel d'une pjramide qui satisfait aux doiin< es 

 dn proLleme. Ccllc solution geometriqiic est exposce dans Ic Journal cile des Ecoles nnr- 

 males, lomc HI, pages ")47-552. 



