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D'apies Ics solutions algcbriques de Lagrauge, de 17^3 el 1795, on avail conclu que le 

 notnbre dc pyramldes qui icsolvalcnt la question clait de huil ; niais M. riachetle a remarque 

 quen picnant en consideration Ics pyiamides symclriqucs pour Icsquclles les longueurs des 

 aretes nc cliangeaicnt pas , le nombre cffectif de solutions etait de seize. II a donne nnc non- 

 velle solution , d'apres laqucUe on pcut disposer du troisieme angle de Tangle Iriedre, pour 

 que les seize solutions ne se reduisent pas a buil ; ce qui arrive , lorsqne les trois supplements 

 des angles plans de Tangle triedre donne, ue pcuvent pas former un second angle Iriedre. 

 Celti! solullou a I'lc' publico dans la Concspondanct: sur I'Ecole Polythecnique , tome IT, 

 caliicr de juillet 1812 , page 552 , et dans son Tiailide geomelrie descriptive , edition 1823 , 

 page 1 55 , ct note page 265. Elle est fondcc , ainsi que celle de Monge , sur le principe qu'un 

 point est determine par la condition d'apparteuir a trois surfaces de revolution; ajant sup- 

 pose que le plan de la base donnce dc la pyraraidc etait fixe, on a chercbe la position qui 

 con vena it a des plans mobiles passant par les ciitc's dc cctle base, pour que ces plans com- 

 prissent Tangle triedre donne , oppose a la base. M. Bruno, dc Naples, a renverse Tbj-po- 

 these ; il a suppose que Tangle triedre fiit forme , et il s'est propose de le conper suivant un 

 triangle de similitude donnce. Par cette manicre d'cnvisager la question, il a Irouve que le 

 pToblime se rcsolvait plus sinipleinent que par Ics mctbodes connnes , et que la solutlou 

 ne di'pcndail que de Tintcrsection des deux li|pcrboIes siluees dans un memo plan. 



Quant an nombre de solutions , M. Ilacbette a fait observer qu'il dependait uniquemcut du 

 nombre des angles triedres qu'on pent former avec trois angles donnes , en y coroprenant leurs 

 supplements. II est facile de prouver, ct algebrlquemcnt, ct par des considerations syntbe- 

 liquos tres-simples , que ce nombre dangles triedres est de bull, non conipris leurs syme- 

 triqucs, et de seize, en les couiprcnant. En effet, les trois plans des angles a, b,c d'un angle 

 triedre, divisent Tespace en huit angles triedres, syme'triqucs deux a deux ; el si Ton forme 

 un secontl angle triedre avec les trois supplements a! ,h\ c' , les plans de ces trois angles 

 diviseront encore lout Tespace en buil nouveaux angles triedres. La discussion de Tequalion 

 bien connue en trigonomutrie , sin a sin b cos A r^ cos a — cos b cos c, donne le meme 

 noml re de cojubinaisous. Ku cflfet, on a pour Tangle triedre forme par les trois angles 

 a , b , c , et pour les sept aulres angles triedres , qui se groupenl au menie sommel : 

 sin b sin c cos A = cos a — cos b cos c 



z=. — cos a + cos b cos c; 

 et pour les trois supplements a\ b' , c\ 



sin b sin c cos A = — cos a — cos b cos c 

 = cos a -|- cos b cos c. 

 (bacunc de ces quatre equations en coniprend deux. 



Les buil angles triedres distincis ('lant conslruits , on y placera , par la mcthode de M. Brnuo, 

 un triangle semblable a la base donnce dc la pvraniide demandce, et un plan parallele a 

 celui de ce triangle contieudra la base meme. La determination du plan de cctle base ne 

 prescute aucune difficulte. 



M. Bruno a donne , dans son Mcraoire, de nouveaux cxemples de Tapplicatiou de la me- 

 tboile des ancicns a la recbercbe de plusicurs propositions dc geometric tres-curieuses ; on 

 les trouvcra dans la traduction commcotce ct devcloppce dc ce Memoire, que I\L Ilachelte 

 a presentee a la Soclete. 



