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MATHEMATIQUES. 



ISote sur les racines des equations tmnscendantes ; par M. Poisson. 

 [Societe Philomatiqiie , 9 decembre 1826.) 



Dans les problemes sur la distribntion de la chaleur, et dans d'aulres questions relatives aus. 

 vibrations des corps , les inconniies se tronvent exprimees par des series d'exponentielles ou 

 de sinus donl les exposants on les arcs sont proporlionnels an temps niultiplie par les racines 

 de ccrlaincs equations Iranscendanles. On pent loujours calculer, par des essais, les valeurs 

 approcliees des racines reelles : mais il imporle des'assurer qu'il n"en cxiste pas d'imoginaires ; 

 el c'est a quoi Ton parvient , quoique ces equations, soient souvent tres-corapliquees, par des 

 nioyens indcpendants de leur forme , et qui son! lies a la solution de cliaque probleme. Ce 

 sont ces moyens que je me propose d'exposer dans celle Note. M. Caucliy a presente recera- 

 ment a TAcademie un Memoire sur les racines des equations transcendanlcs, dans lequel 

 il a considere un grand nombre de ces equations dapres leurs formes pnrticulicres et iude- 

 pendarament des problemes qui penvent y condnire, ce qui est nne question diDerente de 

 celle que je vals trailer. 



Considerons Tcquation differentielle du second ordre ; 



^■'=^ + ^^' ^'\ 



dans laquelle X est uue fonctlon donnee de x, et p une constante indeterminee qui n'entre pas 

 dans X ; son integrale complete sera de la forme : 



y = C/(x, p) + C'F (X, p); 

 C et C itant les deux constantes arbitraires qui peuvent etre fonctipns de p , ety'et F designant 

 des fonctions de x el de p, enlierement dolerrainees. II est evident qu'en representanl par i 

 ime nouvelle variable , et par e la base des logaridimes neperiens , on satisfera a Tequalion 

 aux differences partielles : 



dz d'z , , 



au moyen de 



_ P' 



"—ye ; 



et corame eelte equation ( 1 ) est lineaire et ne contient pas p , ou y satisfera encore en prenant 



ft 

 z = lye ; (a) 



la caracteristique j; iodiquant une somme qui s'etendra a loutes les valeurs de p que Ton vou- 



dra , reelles ou imaginaires. 



Cela pose , je designe par p' une valenr particuliere de p, et par j' la valeur correspondaute 



dey; jemulllplie I'equation {i) ^pav y' dx , et j'integre ensuite entre des limites donnees a et 4 , 



il vienl 



dt 

 OCTOBRE 1826. IQ 



