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MATHKMATIQUES. 



Memoire sur le calcul numerique des inlegrales dejinies, par M. Poissow. 



{Lit li I'Acadaiiit Roj aU- c/ex Sciriiccs L i i ilcCL-:nbi c i8'i6. ) 



Le calcul ties inU'grales dofinies est peul-elre la parllcdc r.-iiialjse doal les applications soul 

 les plus nombreuses et les plus variees. Non-seulenient elles comprennenl la recti ficatiou 

 des courbes, IVvalualion dcs surfaces et des solidcs, el la delerniinalion dcs centres de gravile, 

 mais encore, la plupart des probleuics de mecaiiiquc ou de physique que Ton resout par le 

 calcul iulegral, conduisenl a des expressions dcs inconnucs en inlegrales definies. Aiissi, 

 depuis Euler, et surtout dans ccs derniers temps , les giSomelres se sont-ils beaucoup occupes 

 d'elendre et de perfoctionner cet imporlf^nt calcul. Dans le pelil norabre de cas oil I'integrale 

 generale est connue sous i'ornie finie, ou en dedull iiumedialcmeni I'inlegrale defiule; dans 

 d'aulres cas , beaucoup plus elcnilus , on parvient a Irouver la valcur exacle de I'une saus con- 

 naltrc celle de I'autre ; mais le plus souvent on est ol)lige de recourir aux mediodes d'ap- 

 proximation. Celles-ei consistent en des moyens particuliers a queiques integvalcs, d'apres 

 lesquels on parvient a les iaire depeudre les unes des aulres , et a les reduire en table, ainsi 

 que AI. I.egendre I'a pratique a I'egard des Iranscendanics cllipliqucs , et de deux aulres classes 

 d'iutegrales qu'il a nommees EuU'riennes. Quelquel'ois aussi on pent reduire _la quanlile 

 soumise a I'inlegralion en serie convergcnte donl les termes sont inlegrables par les regies 

 ordiuaires. Mais quand loules ces ressources manqnenl , ou emploie un procede general de 

 calcul , fonde sur la ualure m^me des inlegrales , el qu'ou appelle proprement Mdlhode des 

 quadratures ; denorainalion qui lui vienl de ce que le probleme est le mcnie que celul de 

 Irouver I'aire dune eourbe plane, ou le cole du carre equivalent. L'examen approfondi de 

 cette mctliode, envisagee sons uii nouveau point de vue , est le but principal que je me suis 

 propose dans ce Memoire. 



Une inlegrale delinic est la somme des valeurs de la diffeienlielle comprises enire les limites 

 de rintegralion , el supposees toutes inliniment petlles , ce qui ne souffre d'exceplion que 

 quand le eocfficienl dincrenliel devlent infini enlre ces limites. II en rt'sulle que si I'on prend 

 seulemenl un grand nombi e de ces valeurs , el qu'on y remplaee la dilTerenlielle de la variable 

 par sa diflcrence finie, on aura une premiere valeur de TinUgrale, d'aulanl plus approchee 

 que cette diflerence sera plus pelile. II ne s'agira plus que de determiner la correclioii 

 qu'elle doil subir ; et c"est en eela que consiste la mediode que nous voulons examiner. 

 La formnle en serie quEuler a donnee pour exprimer eelle correclion , esl uue des plus 

 Uliles donl il a enriclii Tanalyse. Nous y parvenons dune maniere nouvelle , qui a Tavan- 

 lage de (aire connailre en meme temps line expression du resle de la serie , a quelque lerme 

 que Ion s'arrele; expression donl il est facile d'assigner des limites dans cliaque cas par- 

 ticulier, qui permelleni dappri'cicr I'erreur de rappniximalion. II serait a deslrer que Ton 

 eul de semblables liniiles pour loules les suites iufinies donl on fait usage : Lagrange les a 

 exprimees trcs-siniplement dans le cas de la serie de Taylor ; el recemmenl M. Laplace . 

 s'est occupe de queslions analogues, relatives aux dc-veloppements des coordonnees des 

 planeles dans le mouvemenl elliplique , et dune auire lonction qui se presenle dans la 

 diioric des perlutbalions. Dans le cas donl nous nous occupbns , ce qui rend la connaissance 

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