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MATHEMATIQUES. 



Mernoire sur la distinction des racines imaginaireSj et sur V application des 

 theonmes d' analyse algebrique a diverses equations transcendantes , et spe- 

 cialement ii celles qui dependent de la theorie de la chaleur, parM. Fourier. 

 Extrait lu a V Academie des Sciences , seance du mercredi "5 Janvier. 



Le premier article Je ce Mernoire fail parlie cruii Traile qui ne tardera point a etre publie , 

 et qui conlicnt les resultals de raes reclierclies sur la llicorie des equations. On demontre dans 

 ce premier article une proposition relative a TeiDploi des fractions continues pour la distinction 

 des racines imaginaires. L'illustre auleur du Traite de la resolution des equations numeriques 

 avait propose, ainsi que Waring , pour la determination des limites, I'usage d'une equation 

 dont les racines sont les diHerences des racines de Tcquation que Ion veut rcsoudre. Cetle 

 mctliode est sujctle a deux difficulles tres-graves qui la rendent inapplicable : la premiere 

 consiste dans I'ctendue excessive du calcul qui sert a former lequation aux differences ; la 

 seconde dans le trcs-grand nonibre des substitutions que Ion aurait a effcctuer. J'ai recherclie 

 avec le plus grand Sdin les moyeiis de ri'soudre ces deux difficulles, et j"y suis parvenu en 

 demonlrant la proposition suivaule. 



On pcul omellre dans tons les cas I'eniploi de I'equalion aux dillerences , el proceder im- 

 mcdiatement au calcul des fractions continues qui doivent exprimer les valeors des racines; 

 il suffit d'i5lablir ce calcul de la nicme manierc que si I'ou elait assure que toutes les racines 

 soul reelles. II est trcs-lacile de conuaitrc combien on doit cliercber de racines dans cbaque 

 inlervalle donne; or on dislinguera par le resultal menie de rcperalioii celles de ces racines qui 

 sont reelles. Quant au nombre des racines imaginaires, il est precisenienl egal an nombre 

 des variations de signe qui disparaissent dans les equations successives. Le Memoire contient 

 la di'monslratlon generale de cetle dernlcrc proposition; il en rcsulte une metliode Ircs- 

 simple pour disllnguer proniplement el avec certitude les racines imaginaires , et pour asslgner 

 deux limiles enire lesquellcs chacune des racines reelles est seule comprise. 



Le second article conccrne les equations que Ton a appelees transcendantes, denoniinallon 

 singnliere emprunlee dune aulre brancbe des etudes pbilosopliiqnes. Je demontre que les 

 theon'mes gencraux d'analyse algebrique sappliquenl aux equations de ce genre que prp- 

 senlenl la tbeorie de la cbaleur ou d'antres questions naturelles. Le principe sur lequel celte 

 application est fondee consiste en ce que, dans toule equation algebrique ou transccndante 

 formi'e dun nombre Tmi ou infini de facteurs , parmi lesquels il se trouve nn ou plusieurs 

 facteurs du second degre ayant deux racines imaginaires , cliacun de ces derniers fac- 

 teurs correspond a une certaiue valeur reelle qui indlqne denx racines imaginaires , parce 

 quelle fail disparaitre deux variations de signes a la fois; el Ion prouve que si liquation 

 propospe n"a aucune de ces valeurs reelles et critiques , il est impossible quelle nail pas toutes 

 ses racines reelles. En general cesl une merae niethode qu'il faul employer, soil pour dislinguer 

 les racines Imaginaires dans les equations algebriques et pour calculer les valeurs de leurs 

 racines reelles, soil pour dislinguer les racines imaginaires des equations transcendantes, el 

 DECEBinnE 1826. 23 . 



