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calculer leurs racines rcelles. La convergence des series qui exprimenl les fonctions transccn- 

 dantes supplcc a la proprietc (juonl les fonctions algebriques d'etre nklultes a iinc constaute 

 par des differentiations snccessives. 



On pent faire I'application de ces principes iiux equations transcendantes qui serveiit a for- 

 mer TexpressioB du mouvemeut de la chalcur dans la splitre, dans les prisnics rectangulaircs , 

 el dans le eyiindrc. J'ai rappele Ici les Irois precedes differenls dont je me snis servi , dans nios 

 reclierchos analvtiqups sur la clialeur, ponr resoiulre les equations donl il sagil; ils douncnt 

 tons les trois le memc i-esultat : 



1°. On emploie les consti'uctions georaetriques , parce qu'elles font conuailre tres-clai- 

 rement les limitcs de chaquc racine. 



2°. Jai demoutre que tontes les racines des I'quations Irigononielriqucs qui se rapportent a 

 la sphere ou aux prismes , soiit reelles , en substituant a la place de la variable un binontc 

 dont le second lernie est imaginaire. On Toit , par le n'sultat de cette substitution , que le 

 coefficient du secoml terme est nicessairement nul. 



3°. On demonlre aussi que les equations Iriijonometriqucs dont il s'agit ont toules leurs 

 racines reelles , sans qu'il soil necessaire dc regarder comuie conuue la forme <lcs racines 

 imaginaires ; car la fonction trigonometrique est le produit dun noiubre de (acleurs qui croit 

 de plus en pins , el sans limites. Or j'ai pronvc rigoureusement que cbacune des equations 

 snccessires qui en resulte ne pent avoir que des racines reelles. Celte propriete est totalenient 

 independante du nombre des facteurs. 



II me reste a indiqucr Tobjel du troisieme article du Memoire. La question que j'ai traitce 

 dans celle derniere parlie a un rapport plus sensible avec les pbenomcnes nalurels; elle s'ap- 

 plique a la question du mouvemeut seculaire de la cbaleur dans I'iuterieur du globe terrestre. 



Nous avons dil que I'expression analytiqoe dn mouvement de la chaleur dans la sphere, 

 dans les prismes rectarigulaires et dans le cylindre , conlient les racines d'une equation irans- 

 cendante determinee, et que toutes ces racines sent rcelles. On pcul donner differentes 

 demonstrations de cette proposition, el toutes les recliercbes ullc'rieures ne peuvent que la 

 confirmer. Mais quelle est la cause naturelle de cette propriete? pour quelle raison physique 

 est-il impossible qu'il entre des expressions differentes dans les solutions donnees par le calcul? 

 quel rapport necessiire y a-l-il entre le principe de la commuuicatiou de la clialcnr , et un 

 tbeorcrae abstrait sur la nature des equations? 



On resoudra clalrement cetle derniere question , en eonsiderant ce qui aurait lieu si I'equa- 

 tion qui determine les cxposants de cliaque terme , coutenail des facteurs du second dcgre dont 

 les deux racines seraient imaginaires. En effet cbacun de ces derniers facteurs pourrait servir 

 a former une solution parliculiere de la question , et cette solution contiendrait la valeur du 

 temps sous les signcs Irigonometriques ; il en resullerait (jue la temperature moyeniie du so- 

 lide correspondante a cliaque instant, serait exprimee par une quantite pcrioilique. Celle 

 expression serait formee d'un facteur expouentiel el d'un faclenr trigonometrique variable 

 avec le temps. La temperature fixe du milieu etant supposi'e celle de la glace fondante , la 

 temperature moyennc du solide serait successivement positive, nulle, el negative ; ensuite , 

 en continuant dc changer, elle deviendrait de nouveau cgale et superieureii celle du milieu. 

 Ces altei'nativcs se reproduiraient duranl un temps inlini divise en mesures egales, comme il 

 arrive dans les dernieres oscillations des laraes ou des surfaces sonores. Or de lels effets ne 

 peuvent avoir lieu, et , pour rendrc cetle impossibilitr nianifeste, il sufiit d'appliquer la 



