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Sur line propriete des equations generales clu mowcineuL ; par 



M. PoissoN. 



i8i6. 



Cette propriete est comprise dans la formule que Lngrange clonne MATHEMATiQris. 



a la pai;,c 329 de la Mecanicjue analyticjue( seconde edition), et dont 



il a fait la base de sa llieorie de la variation des constanl(\s arbilraircs. Socieie pliilomai. 

 Les (juanlites qui cntrent dans rette iormule sunt les variables rcia- jyj^ jg,g_ 



tives a ehaque sysleine de mobiles, rdduites au moindre nombre pos- 

 sible, et indepeiidaiites entre elles : cette reduction peut elre qucl- 

 quefois tres-difficile a elFectuer; mais lieureusement elle n'est pas indis- 

 pensable , et nous allons prouver qu'une equation semblable a cello 

 de Lagrange a egalement lieu, en conservant des variables quelconques, 

 telles que, par exemple, les coordounees rectangulaires des points du 

 systeme. 



Soit done m, la masse d'un de ces points; x , j , z , ses Irois 

 coordonnees; V, I'iul^grale de la somnie de toutes les forces motrices 

 du systeme, multipliees chacune par I'element de sa direction; L = o, 

 ]VI = o, etc., les Equations de condition du systeme que \\n\ consi- 

 dere : les trois equations du raouvement du point m scroiit 



m 



m 



m 



et il y en aura trois semblables pour chacun des aulres mobiles. Les 

 co-efiiciens A, /*, etc., sont des inconnues qui resteront les iiicmes 

 dans les equations des autres points, c'est-a-diru , que les diflerences 

 particUcs de L seront par-tout multipliees par le meme co-efficient A, 

 cclles de M par /* , etc. 



Si Ton integre toutes ces Equations , on pourra exprimer les co- 

 ordonnees des mobiles en lonclions du temps / et d'un certain nombre 

 de constantes arbilraircs; leurs valeurs subsliluees dans ces memes 

 Equations, et dans L=o, ]\1 = o , etc., auront la propriete de les 

 rendre identiques ; on peut done dillerentier chaque equation en v 

 considerant les variables comme des fonrtions impliciles des constantes 

 arbilraircs de I'inlc^gration. Ainsi, en d^signant, comme M. La"ran<re, 

 par ^ une difl'erentielle relative a une portion quelronque de ces 

 constantes, et par A uue seconde diiferentielle de la meme nature, ou 

 aura 



