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verra sans peine, a tel nombre qn'on voudra de vni'iables itid^pen- i u i u. 



(lantes ; inais pour siinplilier, nuus coiisidererons seiilement les inle- 

 grales doubles. 



Soil riLitcj;;rale y/ V f/.r dj, dans laqiielle V est une fonction don- 

 n(fe dex, y, z , et dcs differences par(ielles de z, relatives a x el ay. 

 Pour abreger, nous indiquerous Ic.s ditferences relatives h x par des 

 traits superieiirs , et celles qui se rapporlent h J , par des traits ini'(^- 

 rieurs ; de sorle qu'oii ait 



d z , d z d' z , , d' z , 



'dl-^^' d}^~" Z?""^' dTT}^"^'' ^^^' 



Nous aurons d'abord , en preuant les variations de la mauiere la plus 

 generale , 



cT /]\ dx dy = fT^ ( V dx dy ) = /Tj^ V dx dy + fTv ^ (dx dy), 



isxr d\ . , dy „ d\ ^ , rfV „ , , </V . 



J'V=—-<^X+ — j^y+J'z^ -J. S' Z + — <^ ^< 

 dx dy -^ dt dz dz, 



d'Y 



ce qui montre que la question Se r^duit a troliver la variation d'une diffe- 

 rence de z; d'uii ordre quclfonque, et ensuile eelle du produit dx dy. 

 Pour y parvenir, remplarons pour uu moment x Ct j par deux 

 nouvclles variables u el v ; nous aurons 



Or en prenant les variations de ces quantif^s, et considdrant lefe 

 accroissemens de a; , j, z, comme des fouctious de u et v , on aura, 

 par rapport a z , 



I^ ^, __ r /dx d r dx dy\ /■ dy di z dz dS^y dy dS'z 



|_ \d u d V dv du J \d V du ' d u d v du dv 



dx d^y dv dix 



du dv du, d V 



dz diy\ / dz dy dz dy\ /dy dix 



dv duj \du dv dv du ) \dv du ' 



d^ d^y \'\ _ / dx dy dx d y-\^ 



dv du y J ' \d u dv dv du) ' 



