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ronsidcrc , ct n le nombrc cnticr doiinc. Soient de plus a e( h' Ics 

 plus s;raii(les valcurs enlicres que I'oi) puisso atuibuer tuix variables a; 

 et^- tiaus I'litpiation indctermiacc (i) bx — ay = i 



en supposaut (outcfois b' < .r. La IVactioii — clant irrcduclible par 



liypothese , et la valeur de b' V('ri(ianl refjiiatioi) ba' — ab' = i , 

 b cl b' scroiit iiecessaircnieiit premiers enlre eux, el i'on aura de plus 



l/~ ~ IT ~ Zv' 



La fraetion ~, jouiradouc, rciativement a la fraction — -, des propriet^s 



enoncees par le theoreme, et pour t'lablir ce ineine theoremc il 

 suifira de prouvcr que, parmi toules les IVaetions irrJtiuctiblcs doiit le 



dcBomiualeur n'cxccde pas /?, cellc qui surpasse immedialemeut — 



est pr^cisement -,-. On y parvient de la nianicre suivantc. 



Les diverses valeurs de j- qui resolvent IVquation (i) formenl la 

 progression arillimetique .... ZJ — 2b ^ b' — b, b' , b'-\-b, b'-\-ib.... 

 et [)uisque b' est. la plus grniule de res valeurs qui soil comprise daus n, 

 on a necessairement n <i b' -\- b. 



Soil maintcnant -^ une fraction irr^ductible et plus grandc que -— 



prise parmi celles dont le deiiominafcur u'e-tcctle pas «. Si I'oa fait, 



pour abreger, (2) bj — eg = 7??, 



f a m 



on aura — — — = -r-- 



g b bg 



Am<i\ la dUIerence des fractions — , — sera gen^ralement exprimee 

 par—; et , si on donne a m une valeur couslante en lais.sant varier 



m 



g, cello difference aura la ])ltis petite valeur possible, lorsque g 

 aura la plus grande valeur possible. D'ailleurs les diverses valeurs do g 

 qui satisfont a l'e(|uation (2) sont evidemmenl comprises dans la 

 progression arithmetique 



mb'—ib, rnb' — b, mb' , nrb'+b, rrib' + 2b .. 



dont le lerme mb' + b, egal ou supericur a b' + b, est par suite 

 supdrieur a v : et, comme g ne doit pas exc^dcr n, il est elair qu'il 



sera tout au plus egal au terme mb' ; don a suit que la Iraction — 



ne pourra devenir inlerieurc a — :, , = -7—7 • 



DonC; parmi loutes les fra( lions sup^rieures a --, et dont le ddnomi- 



