BULLETIN DES SCIENCES,—^ 



PAR 



LA SOCI]£t^ philomatique 



D E P A R I S. 



Siir les racines irnaginaires chs equations ; par A. L. CauchY. 



J E me suis propose dVtablir, par iiiie deinonstration rlirecle et simple, MiTHEMAriQtri*. 



la proposition (|iii sert de base a la theorie des racines imagiuaircs, et 



qu'on peut ^noncercomme il suit : Acadcmie Royale des 



T-iu ' » T^.. . • i> ■ ■ Sciences. 



Irieoreme J«r. >; I equation . ,, , „ , 



' li detembre i8i6. 

 n n — I n — 2 



(i) a: + a X + a x +....+ a x+a;=o 



}i'a pas de racine reelle, on pourra toujours y satlsjaire en prenantpour 

 X line expression de la forme , 



(i) X = r (cos. tp ± |/ — I sin. (p; 



ou, en dautres termes, on pourra trouver pour r et <p un sjsteme de 

 valeurs reelles qui vJrificnt en menie temps les deux equations ' 



!n I n — I 

 r cos.7Z(p + (Z /• cos.(/z — i)(p -|- . . . . + (Z r cos.tp +a =o 

 r sin./?(p + a r sin. (/z— i)(p + .... + a rsin.cp =o. 



I U I 



La demonstration de ce fheoreme est fonde'e siir les deux lemmes 

 suivauts : 



Lemme I^r. yoit f (y) = o une equation dont y = b represente 

 line racine reelle, niais qui ail une seule racine egale a b, on pourra 

 toujours attrihuer a S une valeur assez petite, / our que, v etant egal ou 

 injerieur d. Q, }' une des deux j auctions f( b -f v_), r(b — v) soit cons- 

 tamment positire, et V autre constaniment negative. 



Eneflet, puisque/(Z»)=-o, si Ton developpe/C ^iz-) siiivant les 

 puissances asceudautes de v, on aura una Equation de la tbrme 



(4) /(^'±2^)=±Bj.+C vz^V>v^ ... =d=Bi(i±~P+ ...) 



Bn'^tantpasnul, attendu qu'on suppose une seule racine ^gale a Z». Or, v 

 venant iidecroitre, le signedu secoud membre de liquation (4) finira 

 par ddpendre uniquement du signe de son premier terme ±Bv; et par 

 Lii>raison de janrier. 2 



