suite les sigiies des cleuxfonc(ionr,y(Z/ + v'),f{h — .v~) finiront par elre 

 respectiveniem ^gaux a ceux ties cjuanlites + Br, - — B v. Done, etc. 



I.emme 11'^. Si f"( x, y ) = o designe iiue Jonciion raliontielle et entierc 

 d'x et (i'y, et que pour line cerlaine laleiir de x I'eqinition 1' (x, y) == o 

 Tcsolue par mpport ri k Jbnrnisse phisieiirs racines rt'elles incgalesj 

 y. venant a ctoitre oil a dccroitre par degres insensibles , les racines 

 reelles de l' equation varieront eUes-memes par degre's insensibles, sans 

 qu'aitcune d'elles puisse disparaitrc , a mains que prealaulcment I'equa- 

 lion n'dcquierre dss racines egales. 



Ell cft'et siipposoi's que, pour.r=(2, I'equation /'(x, y). = o aclmelte 

 plusieurs racings reelles Inc'-gale'j dont I'uno smt y== b. On pourra 

 (lemma premier) as'^igncr a Q une valeur assez petite, pour que, v elai\t 

 ^gal (Hi inferieuraS saus etre nul, Tune des deux quantitesy((7, Z; -|- z;) 

 f{a, b — V ) suit constamnieiit positive et I'autre couslanimeiit negative. 

 De plus, j'ayant une sembl.iblc valeur, on pourra toujoiirs allribuer a 

 « une autre valeur assez petite, pour (jue, i^ etaut egal ou iut'erieura *, 

 les trois(juantites 



J {a — u,b-\-r), f(a,b + v), f(a + u,b—p) 



soient do lueme sigue, et qu'il en suit eneore de meme des trolssuivanles 



j\a — u,b — v), J{a,b—v), J\a + u,b—r). 



Cela pose, il est clalr i". que/Cw — i/ , b + v) etj' f a — //, b — 2-) seront 

 de signes contraircs; 2°. que/'(i7 + //^ b-\-r) elJ'(a-\-u, b — r) seroiif. 

 egaleiiit;nt de signes coiilraircs; d'oii il suit ({ue, u etant egal ou iulefrleur 

 a *, cbacune des e(|uatious 



'/C« — «. j) = o, /(a + u,j) = o, 



rc.solue par rapport li y, fournira une raciiie reelle comprise entre ;Ies 

 limitesj)' = Z; — v , j)=^b-^ p. Ams'i, z'ayaut une valeur tres-pelite, pouryir 

 qu'elle suit inierieure a S, on peut assigner a a une valeur telle que , .r 

 venaut a croitre (iepuis a jusfju'ii <? + «, ou a decroitre depuis a jusqu'a 

 a— A, I'equation / ( .r, y)=o, i^esolue par rapport hj, conserve, loujours 

 luie raeine reelle' comprise entre les liinites /; — v,' b + i; e'est-a-dire, 

 une raeine qui ne' difl'ere pas sensiblemeut de b; ee qui suITit pour 

 elablir le Jeinme enoncd. 



Comme on n'aUere pas la forme de requal[ony(.r,j) ) =o, eiiy cban- 



geautxen — , on doit en C(jnclure que le lemme a subsistc dans Ic 



cas nienie oil la valeur de .r representee par a devient iiifinic; et l!on 



peut assurer que, si pour — =o, ou x=oc, I'equalion /( .r, j} = o resoF-^ 



iiie par rapport a j iburnit plusieurs raciucs reelles et iuegalcs, lamcHie ' 



