cqiiallon pour dc Ires-pcl'ites valcurs dc — iiifciieures a une cerlalne II- 



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jnilcsc, ou , ce qui revient au meme , pour de trcs-graiides valeurs <le .r fu- 

 p^rieuresa la limile— , admeltra autaiit dc racines reelles fort peu dif- 



ler.enles des premieres. 



Lorsque IVqualion /Y.r^j ) — o csl du degre^ j? par rapporl hy, pile nc 

 sauroit admelire r? racines replies diH'ereulos di^ valeurs, que dans le cas 

 oil elle ri'a |)as do rneiiies t'galcs. 8i done, pour .r =(7, elle a en eliet ii 

 racines rcelles difl'erenlcs ; et qu'en laisant varier ,r par.degres insensiblcs, 

 on finisse par I'aire disparaitre uue on plusieurs de ces racines; puisque 

 dans I'inlcrvalle ces racines ellcs-uiemes varieront par degr^s insen- 

 sibles, sans qu'aucune puissc disj)arnilreavant (pie Tequaliou n'ac(juierrc 

 des racines egales, 11 est elair que dans le lutMue inler\al!e une ccrtaine 

 valeur de .c aura determint^ uiie rcduclion dans le nonihre des racines 

 reelles, en amenant I'egalite de deux ou de plusieurs d'entr'ellcs. 



Vcnons mainlenanta la demonstration du tlicoreme premier. 



De/?7nns/ni/ion. 8i dans les <?<|uations (5) on fait cos.<p = 5, elle pren- 

 dront la forme 



<^) I rr 



I r(i — ^ 



fa (r, s),Jn — i (i; s), designant deux I'onctions ralionnclles et entieres de 

 ret de5, Tune du (\egr6ri, I'autre du degrc r? — i ; et il suffira cvidemment 

 de prouver que, dans le cas ou I'd^quation (i) n'a pas de raciues rdelles, 

 on peut satisiaire aux deux suivanlcs 



^ fu {r,s) =0, 





par ua meme sysleme de valeurs reelles de r et deep, ou , re qui revient 

 au meme de r et de s, s = cos.cp elant conijiris cnire Ics limitcsriz i. Or, 

 la supposition r= co reduit les e<piations (5; a celles-ci : 



. s 5 cos. ;; 9 = o , 



^ ' "^ I sin. 77 (p = o. 



Ces dernieres fournisscnt rcspectivement pour cos. (p =s , la premiere it 

 racines reelles inegales, savoir, 



-r,. !r 5x (2/1— 5)jr (2'; — l)ir 



(h) 5^cos. — , .y = cos. — s=^cos.- , 5 = cos. — ■ — — ; 



2 71 211 in 2 II 



et la seconde n — \ raciues rdelles pareillement iuegales, savoir, 



27r 



(9) 5 = cos. , 5 = cos. — 5 = COS 



n 



inddpendamment des deux valeurs comprises dans la formule 

 (10) s = zh I : 



