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 d'ou ilsuitque,pour le cas der = oc,on sallsfaita I'dqualion^ (r,s) = o 

 au moyeu des valeurs de 5 doniiees par les Ibrmules (8) , et a I'dquation 



t 



(i — i2^^y^_ J z";-, 5) =:o. ou, ce qui reviont au meme, aux deux sui- 

 vnntes (^ —s^y =0 ,/n_i ( r, 5 ) = o , par les valeurs (9) el (10) ; savoir, 



I 



arequatiun( 1 — s'/ := o par les valeurs (lo)seulcment, etal'dquation 

 /n_i (r, 5) =0 par les valeurs (9). On doit en conclure ( lemma 2 ) 

 "que, pour de tres-grandes valours de ?• sup^rieures a une cerlaine limile 

 K, les equations (6j resolues par rapport a 5 doivenl respeetivement 

 fournir, laprcmii're n rai.ines reelles tres-peu dirt't'renles des valeurs (8), 

 et la seconde ^137^ racines reel les Ir-s-peu differentes des valeurs (gj. 



Supposons maintenant que dans les equations (o) r vieiine a decroitre 

 par degres insensiblcs depuis t=^1\ jusqu'a r=o.ll arriveradedeuxcboses 

 ruue.Ou,daus cet intcrva!le,les an— 1 valeurs reelles de 5 qui servent 

 de racines aux equations (G; , et qui varieul avec r par degrt^s insensibles, . 

 subsisteront toujours sans se confondre, et sans que I'ordredeleurs gran- 

 deurs respectives soil jamais allerd; ou quelques unes de ees valeurs , 

 d'abord differentes, deviendront dgales enlre clles. ilest inutile de consi- 

 derer sepnrement le cas ou quehjues racines reelles finiraient par dis- 

 paraitresoit dans I'une soit dans lautre des (Equations (Gj; paree qu'eii 

 I'aisant I'applicalion du lemme 2 aces memes equations, on reeonnait 

 sans peine que le eas parliculier dont il sagit renlre dans la seconde des 

 deux bypolhises qu'ou vient de fuire. De plus il est facile de voir que la 

 premiere bvpotbese est inadmissible. En efi'et, a^ ne pouvant etre nul , 

 puisque I't^quation (i) est supposce n'avoir pas de racines reelles, onne 

 saurait (Hidemment , pour de Ires-petiles valeurs de r , satisfaire a la pre- 

 miere des (^(|ualions (6), ou , ce qui revient au meme , a la premiere des 

 equations (SJ, par des valeurs de5=cos.cp comprises enlre les limitesrb i. 

 D'ailleurs, tant que la premiere des equations (6) conserve rt racines 

 rdelles inegales , comme ces racines varient avec r par d/^gres insensibles, 

 aucune d'elles ne peut depasser les limiles ±1, sans avoir pre^alable- 

 mentadeint ces mcm<°s limiles ; et d'aulre part, si, pour une certaine 

 valeurde r, on pouvait satisfaire ii Tequalion /„ (?; s)==oen supposant 

 5=cos.cp = ±i, la meme valeurde r venfierait la premiere equation (5) 

 reduile par celte su[)posilion a 



n n — I n— 2 



r ± a r -\- a r ± rb « r + r? = o , 



I 2 " — in 



et liquation (i) auraitune racine rdelle egale, au signe pres, a cetleva- 

 leur. Done, puisque 1 equation (i) n'a pas de racines reelles, ()n peut 

 assurer que , pour de trcs-peliles valeurs de r, la premiere des equations 

 (fij rcsohic ])ar rapport a 5 n'aura j)lus de racines ri^elles, non-seulement 

 eutre les bmites 5= ±1, mais meme bors de cos limiles. La seconde des 



