Sur une hi de n-ciproc'ue qui exisle entrc cerlaines functions ; 



par A. I-. CauchY. 



Nous avons c'labli, c]ans noire Mcmoirc sur la tlu'orie des ondrs,, Miteematiques. 

 certaines Ibrmulcs que M. Poisson a egalement obteiul'S de son 

 outd , et des(juelles il r^sulle que. si deux l'oiu;.tions rcspectivemciit 

 designees p;ir Ics caracteristiques /'ct p salislbnt a I'c'qiialioii 



(i) /(.r) = (^)^ /<p(/^)cos. (^,r)^/^[;!:I; 



rintegrale elant prise outre les liiniles /^ = o^ ;« := oo , la meine Equa- 

 tion subsistera encore, lorsqu'on y remplacera la fon/lion y" par la 

 ronction tp et la Ibnction ip par la Ibiictioii /! Denieme, si roa designe 

 pary et -vj/ deux fonctions (pii verifieut leqiiatioii 



celte dqualion subsislera enrore aprcs I'echange de la Ibnction y'contn! 

 la fbnclion A^, et de la Ibnction -^i contre la ibnction j. On voit done 

 ici se manilesler une loi de reciprocile, i° entre les frar:tions _/' et ^ 

 qui salislbnt a 1 equation (i); a" entre ics Equalionsy ct A^ qui satislbot 

 h I't^uation (a). Nous designcrons pour cetle raison les ionctiousy (x), 

 ^ (a,-) sous le noin de Ibnctions reciproques de premiere espcce, et lea 

 Ibnclionsy (.r), ■\{.x) sous le nom de fonctions reciproques de seconde 

 espece. Ces deux especes de fonctions peuveiit ctre employees avec 

 avantage pour la solution d'un grand nombre de problcraes, et jouisscnt 

 de proprietes remarquablcs (jue nous nous proposons ici de f'aire 

 connaitre. 



D'abord, en differentiant plusieurs fois de suite par rapport a x 

 lequatiou (i), on recounailra facilement que, si 



yGc)etp(j-) 

 soat deux fonctions rt^ciproques de premiere espece, 



y" (x) et - .r' ,p {x) 

 seront encore deux fonctions reciproques de premiere espece , et 

 qu'il eu sera de meme des ibnctions 



J'" {x) et X' p (.^), 

 y>- (x) et — .i' <p (x) 

 etc. 

 Au contraire, 



f'(x)etx^(x), 



/'" Cr) et - a:' ? (,r) 

 etc. 

 fjii'raison d''aoiit. ij 



