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I'infegrale complete crune ^qnalion aux differences'partielles de rorJre i ^ 1 



quelconque n, poiivait elre quelquetois moindre que t? ; j'ai aussi 

 monire quo si Ton developpe cetle inl(^-ira!e suivant les puissances de 

 Tune des variables, ce nombre sera diffc^rent sc-ion la variable que Ton 

 aura cboisie ; maintenant j'ajouterai, pour completer ces remarqucs, 

 que Ton peut cboisir la variable de maiiiere que le developpcmeiit de 

 I'iuf^grale ne conticnne plus aucune fonction arbitraire, et qu'il ne 

 s'v trouve que des coiisfantes arbilraires ea nombre inlini. L'exempie 

 suivant suHira pour le prouver. 



Prenons, comrae dans le Mdmoire cit^, I'equation 



et supposons qu'on veuille ddvelopper son integrate suivant les puis- 

 sances de rcxponenfielle e , dont la base est celle des logarithmes 

 neperiens. Soil pour cela 



e = /; 

 I'dquation ( i ) devient 



Or^ quelle que soit la.valeur de z en fonctioe de /et de x qui salisfait 

 a cette Equation , on peut toujours la concevoir d^veloppde suivant 

 les puissances de /, et la repr^senter par la sdrie 



x: = X /"" + X' r' 4- X" r" +• etc., 

 danslesquelles les coefficiens et les exposans sont indetermin^s. Substi- 

 luons-la done dans les deux memlires de I'equation (2); ^galatit 

 ensuite de part et d'aulre les termes semblables , on trouve que lous 

 les exposans rrstent des conslaiiles arbiliaires , ct que les coefficiens 

 se d^iermiucnt en I'onctions de x, iiidepeudamment les uas des autres 

 et par des Equations de cette forme: 



-— = 772 X. 

 dx^ 



En int(^grant, on a 



A et B ^tant deux constantes arbitraires, les ex|)ressions de tous les 

 autres coefficiens seraient semblables ; par consequent on aura pour 

 J'mlegrale complete de Tc^cjuatiou (2) , developp^e suivant les puis- 

 sances de t , 



les caracteristi(|ues 2 d^signant dessommes qui s'etendent a toutes lea 

 valeurs possibles, r^elles ou iinaginaires de A, B ct m; ct I'ou pout 



