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rcmarqncr que si I'oa met ?«' a la place de m, les deux soinnies se 

 reduiroiit a une seulc, savoir : 



2 = 2, A ^ e 



Cette expression ne reDlerine explicitemeut aucune t'onction arbi- 



traire ; eu y remetlant e a. la place de t, nous aureus de mdrae 



. = 2A.'""-^ + '""' (5) 



pour I'inlcgrale complete de I'equation (i) sans fonction arbitraire. 

 Ainsi celle iiitegrale developpee suivaut les puissauces de j>' ne reii- 

 ierme qu'une seule fonction arbitraire j suivaut les puissances de a:, 



elle en rontient deux ; et suivant les puissances de c ou de <? , elle 

 n'eu renferme plus aucune. Au moyen des inlf^grales definies , on par- 

 vient a somnier ces diverses series, el Ton obtient loujours la meme 

 integrale sous forme finie, conlenant une seule fouclion arbitraire. C'cst 

 ce que M. Laplace a fait voir relalivement aux deux premiers d^velop- 

 pemeus. (*) (^uant a la s^rie (3), on a , d'apres une Ibrraule connue , 



m'y 



1 /»—<«■ 



HI \/y 



d ct; 



I'integrale ^tant prise depuis a = jusqua «= + — , et -tt d^si- 



gnant le rapport de la circonfdrenceau diametre; cette serie deviendra 

 done 



si Ton fait 





da.; 



or 



_, . m X 



z, A e =. <p X, 



If X sera une fonction arbitraire de x, et Ton aura de meme 

 d'oLi Ton conclut 



= v-^p 



(f) (x 4- 2« \/y)da; 



ce qui est effectivement , sous forme finie , rinl(''grale complete de 

 I'dqualion (t). 



En general^ les (Equations aux differences pnrtielles, lineaires et a 

 coefficiens conslans, peuvent etre satisfaites par dcs inlt'-grales com- 

 pos^es d'une infinite? d'cxponentielles ; iusqu'ici Ton n'a pas fixe, d'une 

 inanicre salisl'aisante , le degr(^ de generalile de ccs sortes d'expres- 



(') Journal clc I'J-colc polj-leehnique, i5' caliier, page 218. 



