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C'est ]o cinquieme des phunomtncs de ce genre qui se sont manifestes ^017, 



" ' ' premiers lurenl plus remnrquables , 



p (liminud par la lumiere de la lune. 



depuis trois aiis. Q lelques-Lins dps premiers Turenl plus remnrquables, 

 ruais I'cL-lat de celui-ci I'ut beaucoun diminud par la lumien 



Secoiide Nulc sur /es raciiies imaginaires des dqiialioiis ; par 



A. L. Cauchy. 



Qu'iL soit (oujours possible de decomposer iiu polynome en S'iTnEMATiQUEi. 

 facteurs reels du premier et du second iiej;re; 011, en d'au'res (ermcs, 

 que toute equation, dont le premier niembre est luie foriction ralion- 

 nelle et entieie do la variable x, puisse loujours etre v^rifiee par des 

 A'aleurs reelles ou imaginaires de cette varial)le: c'est une propdsi- 

 lion que Ton a deja prouvee fie plusieurs mauieres. MM. r.a^raiigc, 

 Laplace et Gauss out emjjloye divcrses nu^lbodes pour i'etaljiir ; et 

 j'en ai moi-meme donne uue demonstration (bndec^ sur des eonsid;'- 

 rations anaioj^ues a celles dont M. (iauss a fait usage. Quoi qu'ii en 

 soit, dans chaeune des m^thodes que je viens de ciler , on fait une 

 attention speciale au degre de I'equaiion donnee, et quelquefois meme 

 on remonte de cette derniere a d'autres eqiialions d'un degre supe- 

 rieur, Ces considerations m'aynnt pani etraiigcrcs a la fpiestion, j'ai 

 pense que le lt>pi)reme dont 11 s'agil dejiendait uniquemeni dc; la forme 

 des deux fonclions rt^elles que produit la substitution d'une valeur 

 iraaginaire de -la variable dans uu polynoine quelc(jnque ; et j'ai etc 

 assez heureux, en suivant ce.lte idee, pour arriver a une deuKMislra- 

 tion qui sembie aussi direcfe et aussi simple qu'on puisse le desirer. 

 Je vais iei I'exposer en peu de mots. 



Soit / ( x) uu polvnnme quelcoiique en x. Si Ton y substitue pour 

 X une valeur imaginaire u ■\- v \/ — i , on aura 

 (.) /(«+;. i/-r) = P + g,/-r, 



P et Q etant deux functions reelles de u et ?>. Do plus, si Ton fait 

 (2) P + Qv/— 1 = R(CosT+»/— isin.T), 



-R sera ce qu'on appelle le module de I'expression imaginaire 



P + Q v/- i; 

 et sa valeur sera donnee par I'equaiion 

 (5) R'=P' + Q'. 



("ela pos^ , le theoreme a demoutrer , c'est que Ton pourra toujours 

 satisfaire par des valeurs reelles de u el de v aux deux equations 



P = o, Q=o; 

 ou , ce qui revient au menic, a I'^quation unique 



R = o. 

 hivraison d'octohre. 31 



