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Note sur l'hyperboloïde osculateur, par M. Ta*onore Qrivirn. 
L’on sait que c’est à M. Hachette que l’on doit la construction géométrique de l’hyper- 
boloïde à une nappe, osculateur suivant la génératrice droite d’une surface gauche, (Voir le 
traité de géométrie à trois dimensions, publié en 18: par M. Hachette, page 83.) 
Cette construction très-simple consiste à prendre {trois points arbitraires, 22, 22! ll sur 
sa génératrice G; suivant laquelle l’hyperboloïde doit osculer la:surface; à mener à la surface 
trois plans T,,/T', T'', respectivementlangens en chacun de ces points; ces plans coupent res- 
pectivement Ja surface suivant troi courbes C, C’, C', et leurs tangentes respectives mé, 
m't!, m1", sont les trois directrices droites de l’'hyperboloïde osculateur cherché. 
Jusqu'à présent , on n’a pointexaminélles cas où cette surface osculatrice ne pourrait pas 
exister ; et détérminé dès lors , le caractère auquel on reconnaitra que suivant unie généra- 
trice donnée d’une surface gauche, il y aura ou non un hyperboloïde osculateur. Jeme pro- 
pose de discuter le probléme dans toutes les particularités qu'il peut présenter ; et je ferai 
remarquer len même Lemps qu'il n'arrive pas toujours , quoique l’hyperboloïde osculateur 
existe, que les courbes G, C', C'’, aient un point d’inflexion aux points respectifs #1, 7", m'!. 
Supposons que par une droite G l’on fasse passer trois plans P; P', P!'; traçons sur P une 
courbe € coupant G au point”, el en ce point 71 la tangente rat à la courbe C ; traçons en- 
suite sur P/ la courbe C'et sa tanzente »/l', sur P' la courbe C''et sa tangente 7" ;.les 
trois courbes C, C!, C!/, n’ayant chacune qu’un contact du premier ordre avec leur tangente. 
Il est bien évident que la droite G en se mouvant sur ces trois courbes engendrera une 
surface réglée qui n’aura pas d’hyperboloïde osculateur suivant G. 
Supposons maintenant que les trois courbes C, C', C", aient chacune un contact du, second 
ordre avec leur tangente , ’hyperboloïde osculateur existera, si les trois tangentes ne sont 
pas parallèles à un même plan; mais si ces trois tangenles sont parallèles à un même plan, 
l'hyperboloïde se changera en un paraboloïde hyperbolique osculateur. Etremarquons qu'une 
courbe peut avoir un contact du second ordre avec:sa tangente , sans pouncela avoir en ce 
point une inflexion ; elle peut présenter un point méplat, 
D'après cette discussion à priori, l’on voit que : 
Suivant une génératrice donnée d’une surface gauche, il n'existe pas toujours ane surface 
gauche, du second ordre , osculatrice ; que lorsque-celte surface.existe, elle-peat être dans 
certains cas un hyperbolvide à une nappe, dans d’autres un päraboloïde hyperboliqne;:que 
lorsqu'il n’y a pas de surface osculatrice , c’est qu'un plan tangent quelconque à la-surface 
donnée et mevé par la génératrice donnée, coupe cette surface suivatit une courbe qui n’a 
qu’un contact du premier ordre avec sa tangente, ou en d'autres termes uu rayon de cour- 
bure qui, pour le point de contact, n’est ni nul ni infini, et mous verrons plus loin que 4 
courbe peut avoir au point de contact.un rayon de courbure nul; que lorsqu'il y a une sur- 
face osculatrice , c'est:que là courbe, intersection de la surface donnée par un plan tangent 
quelconque, a un contact-du second ordre avec sa langente, ou en d’autres termes un rayon 
de courbure infini pour ce point, de sonte que larcourbe offre en ce point ou une-inflexion ou 
un méplat. d 
En considérant le second mode de génération dont toule surface gauche donnée par trois 
courbes directrices est susceptible, par conséquent, en construisant le cône directeur de la 
