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un rayon égal à celui que décrit le pied dela sous-tangente de la courbe M. Cette propriété 
permet de construire le plan R osculateur de M' pour le point m!. Ce plan R coupera le cône 
C suivant une section conique B , dont il sera facile de déterminer les axes et le centre , puis- 
que le cône C est de révolution; le rayon de courbure de B au point mi sera le rayon de cour- 
bure de M' pour le même point. 
Projetant B en à sur le plan de la courbe M, le rayon de courbure de b pour le-point 1 sera 
celui de M pour le même point. 
Pour la spirale d’Archimède, on fera des constructions identiques , et en vertu de ce que 
la sous-normale est constante, on trouve que le plan P coupe la surface développable ayant 
M! pour arète de rebroussement , suivant une spirale parabolique du 2° ordre. On sait con- 
struire la tangente en un point d’une semblable spirale, on pourra donc toujours constrüire 
avec facilité le plan osculateur R. Donc, etc. 
Pour la spirale logarithmique , on fera encore des constructions identiques , et comme l’on 
sait que le plan P coupe la surface développable qui a M’ pour arète de rebroussement sui- 
vant ne courbe identique à M, connaissant l'angle L sous lequel M coupe ses rayons vec- 
teurs , il sera facile de construire le plan osculateur R, donc, etc. 
Tracé mécanique de la spirale logarithmique. Les propriétés dont jouit la spirale loga- 
rithimique conique permettent de (racer par un mouvement continu et mécaniquement la 
spirale logarithmique plane. Pour cela, on prend un cône de révolution en bois, on place son 
sommet $ au point origine de la courbe , et on le fixe invariablement dans une position telle 
que son axe À soit perpendiculaire au plan de la feuille de papier sur laquelle on doit tracer 
la courbe. 
On prend ensuite une petite planchette rectangulaire que l’on applique tangentiellement 
au cône. Dans cette position, l’arête inférieure B de la planchette passe par le sommetS, et 
l'arête supérieure B' parallèle à B et dès-lors horizontale, se trouve tangente au cercle C, 
base du côre immobile. 
On fixe au sommet 8 un fil de soie , qui se trouve fixé par son autre extrémité eu un point 
m de l’arête B' de la planchette. 
Le fil de soie étant tendu et appliqué en toute sa longueur sur la planchette , le sommet S 
correspond à un point p de l’arête B, u 
Et l’on voit que le fil de soie se projette orthogonalement snr le plan du papier, suivant une 
ligne D qui fait avec B un angle, complément de celui que D fait avec la ligne passant par S 
et menée perpendiculairement à B. 
Cela établi, on fait glisser la planchette de manière qu’elle reste tangente au cône, que son 
arête passe toujours par le point S, et que le fil de soie, en s’enroulant sur le cône, reste 
toujours tendu en sa partie non enroulée étant placé sur la planchette en faisaut toujours le 
même angle avec B. 
Dans ce mouvement , le point p décrira sur le papier une spirale logarithmique coupant 
ces rayons vecteurs sous un angle égal au complément de l'angle que font entre elles les droi- 
tes Det B. ' 
Eo changeant la position du PORTE m sur B', on fera varier l'angle (D, B), et il sera facile 
de diviser la droite B', de manière que l’on puisse fixer la position du HO m , de façon à 
avoir pour l'angle (D, B) toute valeur assignée, 
