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ment une surface développable D que l’on coupe par un plan P , passant par le sommet du 
cône C et perpendiculaire à son axe. La courbe d’intersection à sera la développante de la 
courbe B puisque B est une hélice. Donc la projection 2! de sur le plan de la courbe B' sera 
la développante de la courbe B.. 
Il est facile de lire sur la figure à trois dimensions que la courbe 2 coupe sous un angle 
constant ses divers rayons vecteurs , que cet angle est le même que celui sous lequel B' coupe 
ses rayons vecteurs, et que le point origine de l'est la projection du sommet du cône C sur 
le plau de la courbe B'. 
Donc b'a même point origine que B', et coupe ses rayons vecteurs sous le même angle que 
B'; donc, etc. 
La figure construite dans l’espace montre sur-le-champ que : 
{Désignant par L l’angle sous lequel B' coupe ses rayons vecteurs, par 72 un point de cette 
courbe et par o le point origine). 
1°. Si du rayon o7»2 et du point o comme centre on décrit un cercle M, la développante A 
de B’ ayant 72 pour point de rebroussement , coupera sous l’angle L, les diverses tangentes 
au cercle M. 
2°. Si l’on regarde M comme la projection d’une hélice H, le cylindre ayant d pour section 
droite coupera l’hélicoïde déveleppable ayant H pour arête de rebroussement, suivant une 
courbe d' qui coupera les génératrices de cette surface développable sous un angle constant. 
3°. La courbe d’ sera une hélice sur le cylindre ayant d pour section droite. 
4°. Si l’on prend un point z sur la courbe 4 et que l’on construise la développante N du 
cercle M, laquelle passe par ce point n ; la développante d' de d ayant 7 pour point de re- 
broussement, coupera sous l'angle L les tangentes à N. 
5°. Et si l’on considère N comme la projection d’une hélice 4, le cylindre ayant d' pour 
section droite coupera l’hélicoïde ayant À pour arête de rebroussement suivant une courbe d'£, 
qui coupera les génératrices de cette surface développable sous un angle constant. 
6°. La courbe d/ sera une hélice sur le cylindre ayant d' pour section droite. 
Et les mêmes propriétés se reproduiront jusqu’à l'infini, en considérant successivement la 
développante des développantes de développantes ; etc., des courbes B' et M. 
Rayon de courbure des trois spirales, I] est facile de ramener la construction du rayon de 
courbure en un point de l’une quelconque des trois spirales, à celle du rayon de courbure en 
un point d’une section conique dont les axes et le centre sont connus. 
En effet : 
Pour la spirale hyperbolique, désignant la courbe par M, son point assymptote par o, le 
point en lequel on veut construire le rayon de courbure par », par À une droite passant par 
0 et perpendiculaire au plan de la spirale; il est évident que si l’on considère un cône © de 
révolution ayant son sommet en S sur À et À pour axe: le cylindre D ayant M pour section 
droite, coupera ce cône C suivant une courbe à double courbure M', laquelle sera une spirale 
hyperbolique conique, et tel que si l’on développe le cône C, la courbe M! se transformera 
en uue spirale hyperbolique plane. 
Désignons par x! le point de M’ qui a pour projection le point #2 de M, les diverses tan- 
gentes à la courbe M'formeront une surface développable qui sera coupée par le plan P pas- 
sant par le sommet S et perpendiculaire à l’axe À, suivant un cercle ayant S pour centre et 
