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{°. Il est facile de démontrer que les divers cylindres concentriques au 1er couperont le 
cône C suivant des hélices , et de conclure de là que la spirale hyperbolique peut être re- 
gardée comme engendrée de la manière suivante : 
Étant donné un point o comme pointassymptote, on trace la droite om , et une seconde 
droite D coupant o”2 au point 7», 
Da point o comme centre commun, on décrit les cercles €, c!,c", etc. , coupant om res- 
pectivement aux points 4, a', a", etc.; on mène les ordonnées de D, ab, ab ,a'b", etc, 
om étant regardé comme l'axe des abscisses ; puis on enroule ces ordonnées sur les cercles 
respectifs; les origines des développantes engendrées par les points b, b',b'',etc., de D, 
forment une spirale hyperbolique. 
5°. On déduit de ce qui précède des procédés graphiques simples Say la solution des 
problèmes suivans : 
Étant donné le point assymptote d’une spirale hyperbolique : 
Construire cette courbe, 1° étant donné deux points ; »° un point et une tangente ; 3° une 
tangente et le point de contact. 
Spirale d'Archimède. — Étant donné un cylindre de révolution ayant un axe A, et sur ce 
cylindre une hélice H, on construit la surface gauche Aélicoïde engendrée par une droite se 
mouyant sur l’hélice Het l’axe A et perpendiculairement à cet axe. Il est évident que tout 
cône de révolution ayant son sommet sur l’axe A et pour axe de révolution la droite À, cou- 
pera l’hélicoide gauche suivant une courbe dont la projection orthogonale sur un plan per- 
pendiculaire à A sera une spirale d’Archimède. 
Cette manière de considérer cette spirale permet de lui construire géométriquement la 
langerte en un de ses points, puisqu'elle ne sera que la projection de la tangente à la courbe 
à double courbure, droite qu’il sera facile de construire, puisqu'elle sera donnée par l’inter- 
section des plans tangens au cône droit et à la surface Aclicoide gauche. 
La comparaison de triangles semblables conduit sur-le-champ à ce résultat; savoir, que 
pour celle spirale la sous-normale est constante. 
Spirale logarithmique. — L'on sait que cette courbe jouit de la propriété de couper ses 
rayons vecteurs sous un angle constant. 
Je me propose de rechercher les propriétés géométriques d’une semblable courbe , quoi- 
que je ne sache pas la tracer géométriquement, et saus avoir besoin de recourir à son 
équation , élu. ; 
Pour cela : je suppose une semblable courbe tracée sur un plan, je l’enroule sur un cône 
de révolution G,elle se transformera.en une courbe à double courbure B dont la projection 
B', sur un plan perpendiculaire à l’axe À du cône C, sera une spirale du même genre. 
La courbe B coupe évidemment sous un angle constant les génératrices du cône C; on en 
conclut que les diverses tangentes à la courbe B fout avecil'axe À un angle constant ; par con- 
-équent B estune hélice sur le cylindre ayant B' pour section droite, 
Cette propriété conduit à .une construction graphique simple de la tangente en un point 
d'une spirale logarithmique,, le point origine de cette courbe étant connu. 
Par des copstructions graphiques à trois dimensions, je démontre sur le champ que la dé- 
veloppée d’uve spirale logarithmique est une, courbe identique. 
Pour cela : on considère les diverses tangentes à la courbe à double courbure B, elles for- 
