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Si Ja surface ‘gauche donnée avait un plau directeur, lon sait que la surface du second 
ordre osculatrice suivant chacune de ses génératrices serait un parabol ïde hype rbolique ; 
il pourrait arriver que l’un de ces paraboloïdes oseulateurs fût rectangulaire et que la ge- 
aératrice d’osculation fût une ligue de gorge de ce paraboloïde; dans ce cas, celte géné- 
ratrice serait une ligne d’égale courbure de la surface; de sorte que Fa surface n'ayant que 
des paraboloïdes osculateurs rectangulaires, si elle a des lignes d’égale Çourbure, ces li- 
gnes ne pourront être que des génératrices droites de la surface. 
Et dans le cas où tous les paraboloïdes osculateurs étant rectangulaires, leurs soumets 
sont respectivement situés sur les génératrices respectives d’osculation; alors, toutes les gé- 
nératrices droites de la surface gauche donnée seront des lignes d’égale courbure de cette 
surface; et déslors les lignes de courbure maximun et minimum de cette surface couperont 
sous l'angle demi-droit toutes les génératrices droites de la surface proposée. (Nous indi- 
querons plus loin une surface jouissant de celte propriété remarquable.) 
Toutes les fois qu’une surface gauche aura pour paraboluïdes osculateurs, des paraboloïdes 
obliques, elle possédera des lignes d’égale courbure, si toutefois le sommet de chacun d'eux 
n’est pas situé sur la génératrice d’osculation, car alors tous les points d’égale courbure seront 
situés à lPinfini. 
Les lignes d’égale courbure d’une surface gauche pourront donc affecter les formes sui- 
vantes : un ou plu-ieurs points isolés et situés sur la ligne de gorge de la surface; une ou 
plusieurs génératrices droites de la surface; des courbes fermées où à branches infinies, et 
la ligne de gorge de la surface coupera en deux parties égales les portions des génératrices 
interceptées par les lignes d’égale courbure, si les hyperboloïdes osculateurs sont tous de 
résolution. 
Ceci permettrait donc, dans ce cas particulier, de construire per points la ligne de gorge 
d’une surface gauche, lorsque l’on connaîtrait les lignes d'égale courbure. 
Les points d'égale courbure situés sur les surfaces gauches,gont les homologues des poiuts 
ombilics des surfaces courbes ; seulement pour les ombilics, comume les rayons de courbure 
naxinuta et minimum sontdirigés dans le mêmesens, la courbure de la surface est la même 
tout autour de l’ombilic, ce qui n'a pas lieu pour les surfaces gauches, parce que les rayons 
de courbure maximum el minimum sont dirigés en sens opposés, de sorte que tout autour 
d'un point d’égale courbure , la courbure de la surface varie ét diminue à mesure que le 
plan normal s'approche de la génératrice droite de la surface, va de celle du deuxième sys- 
ième de la surface gauche du deuxième ordre osculatrice, Par les méthodes graphiques de Ja 
géométrie descriptive, l’on ne peut encore déterminer la position des ombilies des sur- 
faces courbes, tandis que pour les surfaces gauches l’on peut, d’après ce qui précède, dé- 
terminer avec facilité les points d’égale courbure. IL faut remarquer qu'une ligne d’égale 
courbure divise toujours la surface en deux régions telles, que si d’un côté de cette ligne le 
rayon de courbure maximum est par exemple au-dessus de la surface, de l’autre côté, le 
rayon de courbure maximum sera au-dessous; de sorte que la surface aura pour tous ses 
points placés d’un même côté de la ligne d’égale courbure , ses rayonsde courbure maximum 
dirigés dans le même sens, et pour tous ses points situés de l’autre côté de la ligne d’é 
courbure , tous Îes rayons de courbure maximum seront dirigés dans un sens opposé. 
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