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> Lignes de courbure de { liélicotde gauche, surface du filet d’une vis currée. ? 
Si en un point M d’une géueratrice G de l'hélicoïde gauche rectangulaire (ainsi nommé 
parce que ses génératrices droites coupent rectangulairement sa directrice droite), l’on cons- 
trait la tangente T à l’hélice cireulaire H passant par ce point M, l'on sait que le plan 
tangent en M, déterminé par les deux droites G et T, sera le plan osculateur de l’hélice H 
pour le point M. Ce plan coupera donc la surface suivant une courbe C ayant même cercle 
osculateur que l'hélice H, par conséquent, même tangent T pour le point M. Ilen sera de 
ee pour tous les autres pbints de la droite G; par conséquent l'on peut énoncer le théo- 
rème suivant : , 
La surface gauche du second ordre, osculatrice de l'hélicoide gauche rectangulaire suivant une 
de 5es génératrices, est toujours un paraboloide hyperbolique rectangulaire dont les génératrices 
du premier systéme sont les diverses tangentes aux hélices circulaires tracées sur la surface héli- 
coie. (1) + 
Ce qui a lieu pour une génératrice de l’hélicoïde a évidemment lieu et identiquement pour 
toutes les autres génératrices; on peut donc, en vertu de ce qui précède, énoncer les théo- 
rèmes suivants : 
1° Tous les paraboloules osculateurs sont rectangulaires el ég'iux pour Chélicoide rectangulaire 
Le sommet de chaque paraboloïde osculateur est situé sur la directrice droite dela surface hé- 
licoïde; au point où cette directrice est coupée par la génératrice d’osculation. Donc : 
> Toutes les génératrices de l’hélicoide gauche reclangulaire sont des lignes d'égale courbure 
sur cette surfuce. 
5° L’hélicoide gauche rectangulaire a ; en chacun de ses points , des rayons de courbure égaux. 
4o Les lignes de courbure maximum et minimum de l'hélicoide gauche rectangulaire sont des 
courbes identiques qui coupent sous l'angle demi-droit toutes les génératrices de la surface, et qui 
se projettent sur un plan perpendiculaire & la directrice droite de la surface suivant des spirales 
égales et passant toutes par Le pied de la directrice. 
5° De La forme approæimative des lignes de courbure d’une sur face gauche. 
Dansles applications aux arts il pourrait être utile, dans plusieurs cas, de connaitre , non 
ja nature et la forme rigoureuse des lignes de courbure d’une surface gauche, mais leur 
forme approximative. Ce qui précède pourra, pour certaines surfaces, permeitre d’arrifer 
à déterminer d’une manière suflisante pour la pratique; la forme que doivent affecter leurs 
lignes de courbure. Je prendrai pour exemple le convïde ordinaire : 
Supposons la droite M verticale, et dans un plan vertical une ellipse E dont lun de sex 
axes soit horizontal. Désignons par Let b? les sommets situés sur l'axe horizontal, paraet & 
jes sommets situés sur l'axe vertical de cette ellipse. Le conoïde est engendré par une droite 
qui se meut horizontalement en s'appuyant sur l’axe M et l'ellipse E. Je désigne par Bet B, 
A et A’, les génératrices correspondant respectivement aux quatre sommets bet b’,a er. 
Il est évident que tous les paraboloïdes osculateurs de la surface sont rectangulaires; que 
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(1) M. Charles avait remarqu É depuis long-temps , mais sans le poblier, que les tangentes aux Lélices cir- 
culaires de la surface du Blet de vis carré donnaient Les génératrices du paraboloïde osculateur. 
