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suivant chacune des quatre génératrices B, B', A, A’, la surface n’a qu’un seul plan tangent 
par conséquent, ces quatre droites sont quatre lignes de courbure minimum de la surface. 
Ces quatre droites divisent la surface en quatre régions symétriques, et les lignes de cour- 
bure maximum et miniraum de la région comprise entre B et À, seront, les premières, nor- 
males à Bet À, et les secondes tangentes à Bet A. 
Maintenant, comme une ligne de courbure ne peut couper rectangulairement une géné= 
ratrice d’une surface gauche, suivant laquelle l’élément de la surface est gauche, il s'ensuit 
que l4 ligne de courbure maximum ayant coupé rectangulairement la droite B, sera forcée 
de s’infléchir pour venir couper aussi rectangulairement la droite A, que par conséquent, 
après avoir tourné sa convexité vers l’ellipse E, elle lui tournera sa concavilé en passant de 
B à A. Il en sera de même pour la ligne de courbure minimuin. L 
L'on voit que dans leur trajet, ces lignes de courbure seront forcées de couper sous 
l’angle demi-droit une des génératrices du conoïde comprise entre A et B; dès lors cette gé- 
nératrice remarquable sera une ligne d’égale courbure du conoïde. Il y a donc quatre droites 
d’égale courbure ; l'axe M sera une cinquième droite d'égale courbure. 
C’est en passant sur la droite d'égale courbure que les lignes de courbure s’infléchiront. 
Pour savoir, enfin, de quel côté les lignes de courbure tournent leur concavité, en partant 
de la génératriceB, il faudra, pour un point, de la surface déterminer dans quelle direction 
se trouve le rayon de courbure maximum: où minimum. 
© On voit, d’après ce qui précède, que la ligne de courbure minimum se compose de quatre 
droites et d’une courbe composée de quatre branches offrant chacune un point d’inflexion, 
et que cette courbe a quatre rebroussements de première espèce alternativement tournés en 
sens opposé, et que les quatre droites B, B', A, A', sont des tangentes en ces quatre points 
singuliers. 
4° De la ligne de gorge des surfaces gauches. 
| Ce que je viens de dire sur les lignes d’égale courbure d’une surface gauche me conduit 
à rectifier, en certains points, ce que j'ai dit touchant la ligne de gorge des surfaces gauches. 
Ainsi, n° 10 (voir la séance du 2 mars 1835), j'ai dit que lorsque la surface gauche avait 
tousses paraboloïdes osculateurs rectangulaires , leurs sommets étaient sur la courbe de gorge. 
Cela ne peut avoirlieu, la ligne de gorge étant une courbe plane ou à double courbure, car il 
faudrait impérieusement , dans ce cas, que le sommet du paraboloïde fût le point d'iater- 
section de la génératrice d’osculation et de la courbe de gorge, de sorte que cette génératrice 
serait une ligne d'égale courbure de la surface. On en pourrait dire autant pour toutes les 
autres génératrices ; dès lors, la surface aurait, en chacun de ses points, des rayons de cour- 
bure égaux, ce qui n’a lieu que pour l'hélicoïde gauche rectangulaire. Les énoncés nos 11 
et 12 sont exacts en tant que l’on sous-enteud que les sommets des paraboloïdes osculateurs 
sont en effet distribués sur la droite de gorge de la surface, mais que le sommet n’est que 
dans certains cas et seulement pour certaines génératrices d’osculation situées au point en le- 
quel la droite de gorge est coupée par la génératrice d’osculation. 
Je crois que l’on peut déGnir la courbe de gorge d’une surface gauche ainsi : La courbe 
de gorge est l'enveloppe des ellipses de gorge des hyperboloïdes osculateurs. 
Livraison d’ Aout 1835. 15. 
